Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя: lim x--->0 (cos4x - cos2x)/(3x)

Answer 1

Воспользуемся бесконечно малыми эквивалентными функциями:
(1-cosx)=x^2/2;
(-(1-сos(4x)-1)+(1-cos(2x)-1))/(3x)
(-(4x)^2/2+1+(2x)^2/2-1)/3x
(-8x^2+2x^2)/(3x)
-2x(при х, стремящемся к 0, предел будет равен 0)

Answer 2

Для вычисления предела lim(x->0) (cos(4x) - cos(2x))/(3x) без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться известными тригонометрическими тождествами и базовыми свойствами пределов.

Используем тригонометрические тождества

Начнем с использования тригонометрического тождества для разности косинусов: cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

Подставим в наше выражение

lim(x->0) (cos(4x) - cos(2x))/(3x) = lim(x->0) (-2 * sin(6x/2) * sin(2x/2))/(3x)

Упростим выражение

= lim(x->0) (-2 * sin(3x) * sin(x))/(3x)

Разделим числитель и знаменатель на x

= lim(x->0) (-2 * sin(3x) * sin(x))/(3x) = -2 * lim(x->0) (sin(3x) * sin(x))/(3x)

Воспользуемся известным пределом

lim(x->0) sin(x)/x = 1 lim(x->0) (sin(3x))/(3x) = 1

Получаем окончательный результат

Итак, получаем: -2 * lim(x->0) (sin(3x) * sin(x))/(3x) = -2 * 1 * 1 = -2

Ответ

Таким образом, предел lim(x->0) (cos(4x) - cos(2x))/(3x) равен -2.