Question

Докажите, что 7^2n-5^2n делится на 24 при любом натуральном n

Answer 1

Решим это методом мат. индукции
  1) Базис индукции
     n=1
$(7^2-5^2)\,\,\vdots\,\,24\\ 24\,\,\vdots\,\,24$ - Выполняется
2) Допустим что при n=k
 $(7^{2k}-5^{2k})\,\,\vdots\,\,24$ тоже выполняется

3) Индукционный переход
  n=k+1
$(7^{2k+2}-5^{2k+2})\,\,\vdots\,\,24\\ (49\cdot7^{2k}-25\cdot5^{2k})\,\,\vdots\,\,24\\ ((24+25)\cdot7^{2k}-25\cdot5^{2k})\,\,\vdots\,\,24$
$(25(7^{2k}-5^{2k})+24\cdot7^{2k})\,\,\vdots\,\,24\\ \,\,\,\,\,\,.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots\,\,24\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots\,\,24$


Что и требовалось доказать