Question

Найдите все целочисленные решения уравнений

Answer 1

$16x^2+8xy-3y^2+19=0$
Выделим полный квадрат:
$(4x)^2+2\cdot 4x\cdot y+y^2-y^2-3y^2+19=0 \\\ ((4x)^2+2\cdot 4x\cdot y+y^2)-4y^2+19=0 \\\ (4x+y)^2-(2y)^2+19=0$
Применяем формулу разности квадратов:
$(4x+y-2y)(4x+y+2y)+19=0 \\\ (4x-y)(4x+3y)+19=0 \\\ (4x-y)(4x+3y)=-19$
В итоге получаем, что произведение двух чисел равно -19. Так как 19 простое число, а сами множители должны быть целыми, то нужно рассмотреть всего четыре варианта: множителями могут быть числа:
19 и (-1)
(-19) и 1
1 и (-19)
(-1) и 19

1. 
$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=19 \\ 4x+3y=-1 \end{array}$
От первого уравнения отнимаем второе:
$-y-3y=19-(-1) \\\ -4y=20 \\\ \Rightarrow y=-5\in Z \\ 4x-(-5)=19 \\\ 4x=14 \\\ \Rightarrow x=3.5\notin Z$
 - не удовлетворяет условию целочисленности

2.
$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=-19 \\ 4x+3y=1 \end{array}$
$-y-3y=-19-1 \\\ -4y=-20 \\\ \Rightarrow y=5 \\\ 4x-5=-19 \\\ 4x=-14 \\\ \Rightarrow x=-3.5$
 - не удовлетворяет условию

3.
$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=1 \\ 4x+3y=-19 \end{array}$
$-y-3y=1-(-19) \\\ -4y=20 \\\ \Rightarrow y=-5 \\\ 4x-(-5)=1 \\\ 4x=-4 \\\ \Rightarrow x=-1$
(-1; -5) - решение

4.
$\left\{\begin{array}{l} 4x-y=-1 \\ 4x+3y=19 \end{array}$
$-y-3y=-1-19 \\\ -4y=-20 \\\ \Rightarrow y=5 \\\ 4x-5=-1 \\\ 4x=4 \\\ \Rightarrow x=1$
(1; 5) - решение

Ответ: (-1; -5) и (1; 5)