Question

Есть только два двузначных числа, каждое из которых равно неполному квадрату разности своих цифр. Найдите меньшее число, если известно, что оно на 11 меньше другого.

Answer 1

Варианты:
- последняя цифра меньшего числа меньше 9.
Меньшее число записывается цифрами a, b
Большее число записывается цифрами (a + 1), (b + 1)
10a + b = a^2 - ab + b^2
10a + b + 11 = (a + 1)^2 - (a + 1)(b + 1) + (b + 1)^2
Раскроем скобки в последнем равенстве:
10a + b + 11 = a^2 + 2a + 1 - ab - a - b - 1 + b^2 + 2b + 1
10a + b + 11 = (a^2 - ab + b^2) + a + b + 1
Сокращаем равные слагаемые.
11 = a + b + 1
a + b = 10
a = 10 - b <- подставляем в какое-нибудь уравнение
10(10 - b) + b = (10 - b)^2 - b(10 - b) + b^2
100 - 9b = 100 - 20b + b^2 - 10b + b^2 + b^2
3b^2 - 21b = 0
3b(b - 7) = 0
Если b = 0, то a = 10 - не цифра
Если b = 7, то a = 3.
- последняя цифра меньшего числа 9. Тогда большее число имеет вид a0.
10a = a^2 - нет целых решений при 1 <= a <= 9.

Ответ. 37.