Question

Площадь прямоугольного участка 144 м2. При каких размерах участка длина окружающего его забора будет наименьшей?

Answer 1

Пусть x,y - стороны прямоугольника. Тогда площадь прямоугольника $xy=144\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, y= \dfrac{144}{x}$

Периметр прямоугольника: $P=2(x+y)$

Составим функцию периметра

$f(y)=2\cdot\bigg(\dfrac{144}{x} +x\bigg)$, где $x \in (0;+\infty)$

Производная функции:
$f'(y)=2\cdot\bigg(\dfrac{144}{x} +x\bigg)^\big{'}=2\cdot\bigg(- \dfrac{144}{x^2} +1\bigg)=0\\ \\ - \dfrac{144}{x^2} +1=0\\ \\ x=\pm12$

__-__(12)___+__
Производная меняет знак с (-) на (+) при переходе через х=12, значит х=12 - точка минимума

$y= \dfrac{144}{12} =12$

Итак, получили х=у=12, наименьший периметр будет у квадратного участка.


Ответ: $12$