Question

Плиззз. Вариант II 1. Решите уравнения: а) log_3(x+2)+log_3(x+2)^2=27; б) 7-lg^2(x)=6lg(x). 2. Решите неравенство: log_{\frac{1}{4}} (2x+2)<-2. 3. Найдите точки экстремума функции: y=(2x+1)*e^{-x}. 4. Решите систему уравнений: \begin{cases}log_{4}(x+y)=2log_{16}(x-y)=2\\2^{2+log_{2}(x-y)}=8\end{cases}. 5. Составьте уравнение касательной к графику функции y=ln(4x), которая проходит через начало координат.

Answer 1

$1.\\a)\;\log_3(x+2)+\log_3(x+2)^2=27\\\log_2(x+2)+2\log_3(x+2)=27\\3\log_3(x+2)=27\\\log_3(x+2)=9\\x+2=3^9\\x+2=19683\\x=19681\\b)\;7-\lg^2x=6\lg x\\\lg^2x+6\lg x-7=0\\\lg x=t,\;\lg^2x=t^2\\t^2+6t-7=0\\D=36+4\cdot7=64\\t_{1,2}=\frac{-6\pm8}2\\t_1=-7,\;t_2=1\\\begin{cases}\lg x=-7\\\lg x=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_1=10^{-7}=0,0000001\\x_2=10^1=10\end{cases}$

$2.\\\log_{\frac{1}{4}} (2x+2)\ \textless \ -2\\\log_{4^{-1}}(2x+2)\ \textless \ -2\\-\log_4(2x+2)\ \textless \ -2\\\log_4(2x+2)\ \textgreater \ 2\\2x+2\ \textgreater \ 4^2\\2x+2\ \textgreater \ 16\\2x\ \textgreater \ 14\\x\ \textgreater \ 7\\\\3.\\y=(2x+1)\cdot e^{-x}\\y'=2e^{-x}-(2x+1)\cdot e^{-x}=2e^{-x}-2x\cdot e^{-x}-e^{-x}=(1-2x)e^{-x}\\(1-2x)e^{-x}=0\\e^{-x}\neq0\Rightarrow(1-2x)=0\Rightarrow x=\frac12\\y(\frac12)=\frac2{e^{\frac12}}\\y''=-2e^{-x}-(1-2x)\cdot e^{-x}=-2e^{-x}-e^{-x}+2x\cdot e^{-x}=(2x-3)e^{-x}\\y''(\frac12)=-\frac2{e^{\frac12}}\ \textless \ 0\;-\;maximum$

$4.\\\begin{cases}\log_{4}(x+y)-2\log_{16}(x-y)=2\\2^{2+\log_{2}(x-y)}=8\end{cases}\Rightarrow\\\begin{cases}\log_{4}(x+y)-\log_4(x-y)=2\\2^{2+\log_{2}(x-y)}=2^3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\log_{4}\frac{x+y}{x-y}=2\\2+\log_{2}(x-y)=3\end{cases}\\\begin{cases}\frac{x+y}{x-y}=16\\\log_2(x-y)=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y=16x-16y\\x-y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}15x=17y\\x=2+y\end{cases}\\15(2+y)=17y\\30+15y=17y\\2y=30\\y=15\\\begin{cases}x=17\\y=15\end{cases}$