Question

Решите неравенство :(1-5x)^2>=(11-3x)^2

Answer 1

$(1-5x)^2 \geq (11-3x)^2\\\\(1-5x)^2-(11-3x)^2 \geq 0\qquad \Big [\; A^2-B^2=(A-B)(A+B)\; \Big ]\\\\\Big (1-5x-(11-3x)\Big )\cdot \Big (1-5x+(11-3x)\Big ) \geq 0\\\\ (-2x-10)\cdot (-8x+12)\geq 0\\\\-2\cdot (x+5)\cdot (-4)\cdot (2x-3) \geq 0\\\\(x+5)(2x-3) \geq 0\; ,\qquad x_1=-5\; ,\; \; x_2=1,5\\\\+++[-5\, ]---[1,5]+++\\\\x\in (-\infty ;-5\, ]\cup [1,5\, ;\, +\infty )$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем применить следующий подход:

1. Начнем с раскрытия квадратов в обоих частях неравенства:

(1 - 5x)^2 >= (11 - 3x)^2

Раскрывая квадраты, получим:

1 - 10x + 25x^2 >= 121 - 66x + 9x^2

2. Теперь сгруппируем все члены в одну сторону неравенства:

16x^2 - 56x - 120 >= 0

3. Далее, нам нужно найти корни квадратного уравнения, чтобы определить значения x, при которых выражение становится равным нулю. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Где a = 16, b = -56 и c = -120.

Подставим значения в формулу:

D = (-56)^2 - 4 * 16 * (-120) = 3136 + 7680 = 10816

Значение дискриминанта равно 10816.

4. Учитывая значение дискриминанта, мы можем определить, какие случаи возможны:

a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных рациональных корня.

b) Если D = 0, то уравнение имеет один рациональный корень.

c) Если D < 0, то уравнение не имеет рациональных корней.

В нашем случае, D = 10816 > 0, поэтому у нас есть два различных рациональных корня.

5. Теперь найдем эти корни. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения в формулу:

x = (-(-56) ± √10816) / (2 * 16)

Упростим выражение:

x = (56 ± √10816) / 32

x = (56 ± 104) / 32

Таким образом, у нас есть два значения для x:

x1 = (56 + 104) / 32 = 160 / 32 = 5

x2 = (56 - 104) / 32 = -48 / 32 = -1.5

Мы нашли два значения x, при которых выражение становится равным нулю: x = 5 и x = -1.5.

6. Теперь мы можем определить, в каких интервалах неравенство выполняется. Для этого можно использовать метод проверки знаков.

a) Выберем точку вне интервала (-∞, -1.5). Например, x = -2.

Подставим это значение в исходное неравенство:

(1 - 5(-2))^2 >= (11 - 3(-2))^2

Упростим:

(1 + 10)^2 >= (11 + 6)^2

11^2 >= 17^2

121 >= 289

Условие не выполняется, так как 121 не больше или равно 289.

b) Теперь выберем точку внутри интервала (-1.5, 5). Например, x = 0.

Подставим это значение в исходное неравенство:

(1 - 5(0))^2 >= (11 - 3(0))^2

Упростим:

(1)^2 >= (11)^2

1 >= 121

Условие не выполняется, так как 1 не больше или равно 121.

c) Наконец, выберем точку вне интервала (5, +∞). Например, x = 6.

Подставим это значение в исходное неравенство:

(1 - 5(6))^2 >= (11 - 3(6))^2

Упростим:

(-29)^2 >= (-7)^2

841 >= 49

Условие выполняется, так как 841 больше или равно 49.

7. Итак, решение неравенства (1 - 5x)^2 >= (11 - 3x)^2 состоит из двух интервалов:

a) (-∞, -1.5) и (5, +∞)

При значении x в этих интервалах неравенство выполняется.

Ответ: x ∈ (-∞, -1.5) U (5, +∞)