Question

Решите уравнение:корень из 3 sin 2x-cos2x=2

Answer 1

...........................................................

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно. У нас есть уравнение:

√3sin(2x) - cos(2x) = 2

Первый шаг: Приведение к основным тригонометрическим функциям

Мы можем заметить, что √3sin(2x) и cos(2x) оба содержат угол 2x. Давайте заменим √3sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и cos(2x) на cos^2(x) - sin^2(x) (используя формулы двойного угла).

2sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 2

Второй шаг: Упрощение уравнения

Раскроем скобки и упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 2

2sin(x)cos(x) + sin^2(x) = cos^2(x) + 2

Третий шаг: Приведение уравнения к квадратному уравнению

Мы можем заметить, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора). Заменим это в уравнении:

2sin(x)cos(x) + 1 = cos^2(x) + 2

Теперь перенесем все на одну сторону:

cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Четвертый шаг: Решение квадратного уравнения

Давайте заменим cos(x) на t и решим уравнение как квадратное уравнение относительно t:

t^2 - 2sin(x)t - 1 = 0

Используя формулу дискриминанта для квадратного уравнения, мы получаем:

D = (-2sin(x))^2 - 4(1)(-1) = 4sin^2(x) + 4

Корни уравнения будут:

t = (2sin(x) ± √(4sin^2(x) + 4)) / 2

То есть:

t = sin(x) ± √(sin^2(x) + 1)

Пятый шаг: Нахождение значений x

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению и найти значения x.

cos(x) = t

cos(x) = sin(x) ± √(sin^2(x) + 1)

Используя тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

cos(x) = sin(x) ± √(1 - cos^2(x) + 1)

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.

Уравнение может иметь бесконечное количество решений, поэтому для полного решения нам понадобится использовать численные методы или графический анализ.