Question

Назовите такое значение b, при котором неравенство b(x−b)≤3x+1 верно для любого значения x.

Answer 1

Давайте представим второе выражение в схожем с первым виде.
$3x+1=3(x+ \frac{1}{3})$
Довольно легко видеть, что при b=3 x сокращается. Посмотрим, что из этого выйдет.
b=3 =>
$3(x-3)=3x-9$
Рассмотрим следующее неравенство:
$3x-9 \leq 3x+1$
3x здесь сократятся (это легко проверить).
Таким образом, получаем:
$-9 \leq 1$
А это верно. Значит, при b=3 при любом х неравенство верно.
Это ответ.

Answer 2

Для того чтобы неравенство b(x-b) ≤ 3x+1 было верным для любого значения x, нужно найти такое значение b, при котором выполняется данное неравенство независимо от значения x.

Раскроем скобки в левой части неравенства: bx - b^2 ≤ 3x + 1.

Перенесем все члены с x на одну сторону: bx - 3x ≤ b^2 + 1.

Факторизуем x на левой стороне неравенства: (b - 3)x ≤ b^2 + 1.

Если неравенство выполняется для любого значения x, то коэффициент при x, (b - 3), должен быть меньше или равен нулю: b - 3 ≤ 0.

Решим это неравенство: b ≤ 3.

Таким образом, при значении b ≤ 3 неравенство b(x-b) ≤ 3x+1 верно для любого значения x.