Question

Решите, пожалуйста, неравенство x^2+11x ≤ 15x

Answer 1

.............................

Answer 2

Конечно, решим это неравенство!

Начнем с того, что у нас есть неравенство: \(x^2 + 11x \leq 15x\). Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому неравенству, нужно переписать его в стандартной форме: \(x^2 + 11x - 15x \leq 0\).

Теперь приведем подобные члены: \(x^2 - 4x \leq 0\). Форма этого уравнения намекает, что можно факторизовать или использовать квадратное уравнение для решения.

Разложим \(x^2 - 4x = x(x - 4)\), и мы получим \(x(x - 4) \leq 0\).

Теперь для определения значений \(x\) можно использовать метод интервалов знаков. Учитывая, что \(x\) умножается на \((x - 4)\) и у нас неравенство \(x(x - 4) \leq 0\), нам нужно определить знаки \(x\) и \((x - 4)\) на интервалах между и после корней уравнения \(x(x - 4) = 0\), то есть при \(x = 0\) и \(x = 4\).

Рассмотрим интервалы:

1. \(-\infty < x < 0\) 2. \(0 < x < 4\) 3. \(x > 4\)

Теперь возьмем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения \(x(x - 4)\) для них:

1. При \(x = -1\): \((-1)(-1 - 4) > 0\) 2. При \(x = 1\): \(1(1 - 4) < 0\) 3. При \(x = 5\): \(5(5 - 4) > 0\)

Таким образом, нам нужны значения \(x\), для которых \(x(x - 4) \leq 0\). Это соответствует интервалам, где знак выражения \(x(x - 4)\) отрицателен или равен нулю:

Ответ: \(-1 \leq x \leq 4\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие исходному неравенству \(x^2 + 11x \leq 15x\), находятся в диапазоне от \(-1\) до \(4\), включая границы.