Question

Интеграл числистель: x^3dx знаменатель: x^4+2 Помогите пожалуйста решить этот интеграл

Answer 1

$\int \frac{x^3dx}{x^4+2}=\frac{1}{4}\int \frac{4x^3dx}{x^4+2}=\frac{1}{4}\int \frac{d(x^4+2)}{x^4+2}=\\\\=[t=x^4+2,\; \to \; \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C]=\frac{1}{4}ln|x^4+2|+C$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, нужно разложить дробь на простейшие слагаемые методом неопределенных коэффициентов. Представим дробь в виде:

(x^3) / (x^4 + 2)

Так как степень числителя меньше степени знаменателя, мы можем разложить дробь на сумму простейших дробей:

(x^3) / (x^4 + 2) = A / (x + √2) + B / (x - √2) + Cx / (x^2 + 2x + 2)

где A, B и C - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Домножим обе части уравнения на знаменатель (x^4 + 2), чтобы избавиться от дробей:

x^3 = A(x^3 + √2x^2 - √2x - 2) + B(x^3 - √2x^2 + √2x - 2) + Cx(x^2 + 2x + 2)

Раскроем скобки и упростим выражение:

x^3 = (A + B)x^3 + (√2A - √2B + C)x^2 + (-√2A + √2B + 2C)x - 2A - 2B

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

x^3: A + B = 1 x^2: √2A - √2B + C = 0 x: -√2A + √2B + 2C = 0 константа: -2A - 2B = 0

Из последнего уравнения получаем A = -B. Подставим это значение в первое уравнение:

-B + B = 1 0 = 1

Получаем противоречие, что означает, что такое разложение невозможно. Следовательно, данный интеграл не может быть решен в элементарных функциях.