Question

Помогите,пожалуйста, доказать тождествоsin (n/6-a)-cos(n/3+a)=0

Answer 1

Есть формулі для ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ углов:

$sin \alpha =cos(90- \alpha ),\; \; cos \alpha =sin(90- \alpha )\; \to \\\\sin(\frac{\pi}{6}- \alpha )=cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{6}- \alpha ))=cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+ \alpha )=cos(\frac{\pi}{3}+ \alpha )\\\\\\sin(\frac{\pi}{6}- \alpha )-cos(\frac{\pi}{3}+ \alpha )=cos(\frac{\pi}{3}+ \alpha )-cos(\frac{\pi}{3}+ \alpha )=0$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать формулы тригонометрии и преобразования тригонометрических функций.

Итак, начнем с левой части тождества:

sin(n/6 - a) - cos(n/3 + a)

Мы можем использовать формулу разности для синусов:

sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)

Применив эту формулу к первому слагаемому, получим:

sin(n/6) * cos(a) - cos(n/6) * sin(a) - cos(n/3) * cos(a) - sin(n/3) * sin(a)

Теперь применим формулу разности для косинусов:

cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)

Применяя эту формулу ко второму слагаемому, получим:

cos(n/6) * cos(a) - sin(n/6) * sin(a) - cos(n/3) * cos(a) - sin(n/3) * sin(a)

Теперь объединим похожие слагаемые:

(sin(n/6) * cos(a) - sin(n/3) * sin(a)) - (cos(n/6) * sin(a) + cos(n/3) * cos(a))

Теперь применим формулы для синусов и косинусов:

sin(x) * cos(y) - sin(y) * cos(x) = sin(x + y)

cos(x) * sin(y) + cos(y) * sin(x) = sin(x + y)

Используя эти формулы в нашем выражении, получим:

sin(n/6 - n/3) - cos(n/3 + n/6)

Подставим значения в скобках:

sin(n/6 - n/6) - cos(n/6 + n/3)

Упростим:

sin(0) - cos(n/6 + n/3)

Учитывая, что sin(0) = 0, имеем:

0 - cos(n/6 + n/3) = -cos(n/6 + n/3)

Таким образом, получили правую часть тождества равной -cos(n/6 + n/3).

Таким образом, доказано тождество: sin(n/6 - a) - cos(n/3 + a) = -cos(n/6 + n/3).