Question

Укажите число, которое является решением неравенства x в квадрате минус 3х минус 2 <0

Answer 1

Надеюсь то что надо)....

Answer 2

Для решения неравенства \(x^2 - 3x - 2 < 0\), мы можем воспользоваться методом интервалов или методом знаков. Давайте воспользуемся методом знаков.

1. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 2 = 0\). Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -2\).

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 3x - 2 = 0\) равны \(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\) и \(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}\).

2. Теперь определим знак выражения \(x^2 - 3x - 2\) на каждом из интервалов, образованных корнями уравнения. Для этого выберем произвольные значения внутри каждого интервала и подставим их в выражение.

- Возьмем значение \(x = 0\) (меньше чем корень \(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}\)):

\[f(0) = (0)^2 - 3(0) - 2 = -2\]

Значит, на интервале \((-\infty, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})\) выражение \(x^2 - 3x - 2\) отрицательно.

- Возьмем значение \(x = \frac{3}{2}\) (между корнями):

\[f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = -\frac{11}{4}\]

Значит, на интервале \(\left(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right)\) выражение \(x^2 - 3x - 2\) положительно.

- Возьмем значение \(x = 4\) (больше чем корень \(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\)):

\[f(4) = (4)^2 - 3(4) - 2 = 6\]

Значит, на интервале \(\left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right)\) выражение \(x^2 - 3x - 2\) снова отрицательно.

3. Теперь мы видим, что неравенство \(x^2 - 3x - 2 < 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})\) и \(\left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right)\).

Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 3x - 2 < 0\) представлено интервалами:

\[x \in \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right)\]