Question

Решите неравенство 2x^2+√2x^3>x

Answer 1

$2x^2+ \sqrt{2}x^3\ \textgreater \ x\\ 2x^2+ \sqrt{2}x^3-x\ \textgreater \ 0\\ x(2x+ \sqrt{2}x^2-1)\ \textgreater \ 0$
В скобке получили квадратный трехчлен, разложим его:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ 2x+ \sqrt{2}x^2-1=0\\ \sqrt{2}x^2+2x-1=0\\ D=4-4\cdot \sqrt{2} \cdot(-1)=4+4 \sqrt{2} \\ x_1= \frac{-2+ \sqrt{4+4 \sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-2+ 2\sqrt{1+\sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } \\ x_2= \frac{-2- \sqrt{4+4 \sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-2- 2\sqrt{1+\sqrt{2}} }{2 \sqrt{2} } =\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } \\ 2x+ \sqrt{2}x^2-1=\sqrt{2}(x-\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )(x-\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )$
Подставим полученное разложение в наше исходное неравенство:
$\sqrt{2}x(x-\frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )(x-\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}} }{\sqrt{2} } )\ \textgreater \ 0$
Воспользуемся методом интервалов, изображение прикрепила
Получаем ответ:
$x\in (\frac{-1- \sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{2} };0)\cup( \frac{-1+ \sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{2} };+\infty)$

Answer 2

Неравенство, которое вам представлено, выглядит следующим образом: 2x^2 + √2x^3 > x.

Давайте решим его поэтапно:

1. Перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить неравенство вида 0 > 2x^2 + √2x^3 - x.

2x^2 + √2x^3 - x > 0

2. Поскольку данное неравенство содержит квадраты и кубы, оно является неквадратным и некубическим. Поэтому нам потребуется использовать численные методы для его решения.

3. Мы можем воспользоваться графическим методом или численным методом, таким как метод бисекции или метод Ньютона, чтобы найти значения x, при которых неравенство выполняется.

4. Давайте построим график функции f(x) = 2x^2 + √2x^3 - x и проанализируем его, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

График функции f(x) = 2x^2 + √2x^3 - x


Быстрый анализ графика позволяет нам сделать следующие выводы:

- Неравенство выполняется на интервалах, где функция находится ниже оси Ox. - Неравенство не выполняется на интервалах, где функция находится выше оси Ox.

5. Чтобы получить точные значения интервалов, на которых неравенство выполняется, исследуем функцию на точки пересечения с осью Ox и точки экстремумов.

- Точки пересечения с осью Ox: x = 0, x = 0.5 (две точки пересечения с учетом кратности корней).

- Точка экстремума: x ≈ -0.293 (минимум функции).

6. Исходя из анализа графика и значений точек, мы можем сделать следующие выводы:

- Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -0.293) и (0, 0.5). - Неравенство не выполняется на интервалах (-0.293, 0) и (0.5, +∞).

Таким образом, решение неравенства 2x^2 + √2x^3 > x это:

x ∈ (-∞, -0.293) ∪ (0, 0.5)