Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж. y2=4x; x2=4y

Answer 1

Это чертеж. Скинь мне свой ящик, я туда тебе отправлю решение. А то в моей программе сюда не получается вставить решение. Там же интегралы.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y^2 = 4x и x^2 = 4y, сначала найдем точки пересечения этих линий.

Для этого приравняем два уравнения:

y^2 = 4x и x^2 = 4y.

Из первого уравнения выразим x через y:

x = y^2/4.

Подставим это выражение во второе уравнение:

(y^2/4)^2 = 4y.

y^4/16 = 4y.

Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателя:

y^4 = 64y.

y^4 - 64y = 0.

y(y^3 - 64) = 0.

Таким образом, мы получаем два возможных значения для y: y = 0 и y^3 - 64 = 0.

При y = 0 из уравнения x = y^2/4 получаем x = 0.

При y^3 - 64 = 0 находим корень y = 4.

Подставляем этот корень в уравнение x = y^2/4 и получаем x = 4.

Таким образом, точки пересечения линий - (0,0) и (4,4).

А теперь нарисуем график этой фигуры:

[](https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y^2+%3D+4x+and+x^2+%3D+4y)

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, мы можем использовать интеграл:

S = ∫(y1 - y2)dx, где y1 и y2 - это уравнения кривых.

Подставим уравнения кривых: y1 = 2√x и y2 = x^2/4.

S = ∫(2√x - x^2/4)dx.

Вычислим этот интеграл:

S = 2∫√x dx - (1/4)∫x^2 dx.

S = (4/3)x^(3/2) - (1/12)x^3.

Подставим верхние и нижние пределы интегрирования, то есть значения x от 0 до 4:

S = (4/3)(4^(3/2)) - (1/12)(4^3) - (4/3)(0^(3/2)) + (1/12)(0^3).

S = (4/3)(8) - (1/12)(64) - (4/3)(0) + (1/12)(0).

S = 32/3 - 64/12.

S = 32/3 - 16/3.

S = 16/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y^2 = 4x и x^2 = 4y, равна 16/3.