Question

cos4x - cos^2x = 1

Answer 1

$\cos 4x-\cos^2x=1$
Применим косинус двойного угла и формулу понижения степени.

$2\cos^22x-1- \dfrac{1+\cos2x}{2}=1~~~|\cdot 2\\ \\ 4\cos^22x-2-1+\cos2x=2\\ \\ 4\cos^22x+\cos2x-5=0$

Решим уравнение как квадратное уравнение относительно cos 2x.

$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot4\cdot(-5)=81$

$\cos2x= \dfrac{-1+9}{8} =1;~~\Rightarrow~~~ \boxed{x= \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$\cos2x= \dfrac{-1-9}{8} \ \textless \ -1$ - уравнение решений не имеет


Ответ: x = πn, где n - целое число

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам понадобятся некоторые тригонометрические идентичности. Одна из них гласит:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Мы можем воспользоваться этой идентичностью, чтобы преобразовать уравнение. Заметим, что:

cos(4x) = cos(2 * 2x) = 1 - 2sin^2(2x)

Теперь мы можем заменить cos(4x) в уравнении и получить:

1 - 2sin^2(2x) - cos^2(x) = 1

После раскрытия скобок и сокращения слагаемых, мы получим:

-2sin^2(2x) - cos^2(x) = 0

Мы видим, что sin^2(2x) = (sin(2x))^2 и cos^2(x) = (cos(x))^2. Теперь мы можем заменить эти значения в уравнении:

-2(sin(2x))^2 - (cos(x))^2 = 0

Теперь, чтобы продолжить решение, нам понадобятся дополнительные тригонометрические идентичности:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем заменить sin(2x) и (sin(2x))^2 в уравнении:

-2(2sin(x)cos(x))^2 - (cos(x))^2 = 0

Раскрываем скобки и сокращаем слагаемые:

-8sin^2(x)cos^2(x) - (cos(x))^2 = 0

Теперь мы можем вынести общий множитель из первого слагаемого:

-(cos(x))^2(8sin^2(x) + 1) = 0

Из этого уравнения мы видим два возможных пути:

1. (cos(x))^2 = 0

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения для x:

cos(x) = 0 x = π/2 + kπ (где k - любое целое число)

2. 8sin^2(x) + 1 = 0

Вычитаем 1 из обеих сторон уравнения:

8sin^2(x) = -1

Это уравнение не имеет решений, так как квадрат синуса не может быть отрицательным.

Таким образом, получаем ответ:

x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.