Question

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения х^2+2y^2=5 и y^2-х^2=-2

Answer 1

X^2 и -x^2 сокрощаем,складываем уравнения,y^2+2y^2=5-2  3y^2=3 y^2=1  y=1; подставляем значение y

Answer 2

Для решения системы уравнений методом алгебраического сложения можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте найдем решение данной системы уравнений.

Исходная система уравнений:

1) \(x^2 + 2y^2 = 5\) 2) \(y^2 - x^2 = -2\)

Для начала решим второе уравнение относительно \(y^2\):

\(y^2 = x^2 - 2\)

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\(x^2 + 2y^2 = 5\) \(x^2 + 2(x^2 - 2) = 5\) (подставляем \(y^2 = x^2 - 2\)) \(x^2 + 2x^2 - 4 = 5\) \(3x^2 - 4 = 5\) \(3x^2 = 9\) \(x^2 = 3\) \(x = \pm \sqrt{3}\)

Теперь найдем значения \(y^2\) с использованием уравнения \(y^2 = x^2 - 2\):

Если \(x = \sqrt{3}\):

\(y^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 = 3 - 2 = 1\) \(y = \pm 1\)

Если \(x = -\sqrt{3}\):

\(y^2 = (-\sqrt{3})^2 - 2 = 3 - 2 = 1\) \(y = \pm 1\)

Таким образом, получаем два набора решений:

1) \(x = \sqrt{3}\), \(y = 1\) 2) \(x = \sqrt{3}\), \(y = -1\) 3) \(x = -\sqrt{3}\), \(y = 1\) 4) \(x = -\sqrt{3}\), \(y = -1\)

Проверим данные значения, подставив их обратно в исходную систему уравнений:

1) При \(x = \sqrt{3}\), \(y = 1\): \(3 + 2 \times 1^2 = 5\) (Верно) \(1^2 - (\sqrt{3})^2 = -2\) (Верно)

2) При \(x = \sqrt{3}\), \(y = -1\): \(3 + 2 \times (-1)^2 = 5\) (Верно) \((-1)^2 - (\sqrt{3})^2 = -2\) (Верно)

3) При \(x = -\sqrt{3}\), \(y = 1\): \(3 + 2 \times 1^2 = 5\) (Верно) \(1^2 - (-\sqrt{3})^2 = -2\) (Верно)

4) При \(x = -\sqrt{3}\), \(y = -1\): \(3 + 2 \times (-1)^2 = 5\) (Верно) \((-1)^2 - (-\sqrt{3})^2 = -2\) (Верно)

Таким образом, решения системы уравнений методом алгебраического сложения составляют четыре пары значений: \((\sqrt{3}, 1)\), \((\sqrt{3}, -1)\), \((-\sqrt{3}, 1)\) и \((-\sqrt{3}, -1)\).