Question

Помогите сократить дробь \frac{2^{2n+3}*3^{3n-1}}{4^{n}*27^{n+1}} . Ответ должен получиться 81/8.

Answer 1

$\frac{2^{2n+3}*3^{3n-1}}{4^{n}*27^{n+1}}=\frac{2^n*2^n*2^3*3^n*3^n*3^n*3^{-1}}{2^n*2^n*3^n*3^n*3^n*27}=\frac{2^3}{27*3}=\frac{8}{81}$

Answer 2

Для сокращения данной дроби, нам необходимо использовать свойства степеней и упростить выражение в числителе и знаменателе.

1. Начнем с числителя: 2^(2n + 3) * 3^(3n - 1)

Используя свойство степени умножения, мы можем записать это как: 2^(2n + 3) * 3^(3n - 1) = 2^(2n) * 2^3 * 3^3 * 3^(-1)

Теперь, используя свойство степени деления, можно записать: 2^(2n) * 8 * 27 / 3

8 можно представить как 2^3, а 27 как 3^3: 2^(2n) * 2^3 * 3^3 / 3

Используя свойство степени сложения, можно сложить показатели степеней: 2^(2n) * 2^(3) * 3^(3) / 3 = 2^(2n + 3) * 3^(3) / 3

2. Теперь перейдем к знаменателю: 4^n * 27^(n + 1)

Используя свойство степени умножения, получим: 4^n * 27^(n + 1) = (2^2)^n * (3^3)^(n + 1)

Снова используя свойство степени сложения, получим: (2^2)^n * (3^3)^(n + 1) = 2^(2n) * 2^2 * 3^(3n + 3)

Упрощаем: 2^(2n) * 2^2 * 3^(3n + 3) = 2^(2n) * 4 * 3^(3n + 3)

3. Теперь можем записать нашу дробь в упрощенном виде: (2^(2n + 3) * 3^(3)) / (2^(2n) * 4 * 3^(3n + 3))

Используя свойство степени деления, можно выразить это как: (2^(2n + 3) * 3^(3)) / (2^(2n) * 4 * 3^(3n + 3)) = (2^(2n + 3 - 2n) * 3^(3 - 3n - 3)) / 4

Упрощаем: (2^(3) * 3^(-3n)) / 4 = (8 * 1/3^(3n)) / 4

8 и 4 можно сократить: (8 * 1/3^(3n)) / 4 = (2 * 1/3^(3n)) / 1

И, наконец, получаем ответ: (2 * 1/3^(3n)) / 1 = 2/3^(3n) Таким образом, дробь \frac{2^{2n+3}*3^{3n-1}}{4^{n}*27^{n+1}} равна 2/3^(3n).

Ответ 81/8 является упрощенной формой и не равен исходному выражению.