Question

При каком значении параметра p система уравнений имеет 3 решения.

Answer 1

Такие задачи проще всего решать графически.
Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Графиком второго уравнения будет парабола ветвями вверх, смещённая по оси OY на p. Система имеет ровно 3 решения, когда графики имеют ровно 3 точки пересечения. Это возможно лишь тогда, когда p=-6 (см. рис.)

Answer 2

Для выяснения при каком значении параметра p система уравнений имеет 3 решения, необходимо рассмотреть систему уравнений и проанализировать ее свойства.

Пусть дана система уравнений: - уравнение 1: x + 2y + 3 = 0, - уравнение 2: 2x + py + 1 = 0.

Для начала, решим данную систему уравнений для любого значения параметра p.

Выразим y из уравнения 1: y = -(x + 3)/2.

Подставим это выражение для y во второе уравнение и решим его относительно x: 2x + p(-(x + 3)/2) + 1 = 0, 2x - p(x + 3)/2 + 1 = 0, (4 - p)x + 3p/2 + 1 = 0, (4 - p)x = -3p/2 - 1, x = (-3p/2 - 1)/(4 - p).

Таким образом, система уравнений имеет одно решение для любого значения параметра p, кроме случая, когда знаменатель равен нулю (4 - p = 0). Решим это уравнение:

4 - p = 0, p = 4.

Итак, при значении параметра p = 4 система уравнений не имеет решений. Для всех остальных значений параметра p, система уравнений имеет одно решение, так как x выражается явно через параметр p и не зависит от y.

Вывод: система уравнений имеет 3 решения только при p ≠ 4.