Question

1)Найдите производную функции: f(x)=x^2+4x-3 g(x)=6 корней из x 2)В каких точках касательная к графику функции y=sin2x параллельна прямой y=х-3

Answer 1

№ 1.
$f'(x)=2x+4$
$g'(x)=6*0.5*x^{-0.5}= \frac{3}{\sqrt{x}}$

№ 2.
Касательная будет параллельна указанной прямой, если ее угловой коэффициент будет равен коэффициенту перед х в уравнении прямой, т.е. 1.
Уравнение касательной: $Y=y(a)+y'(a)*(x-a)$, где а - точка касания.
$y(a)=sin(2a)$
$y'(a)=2cos(2a)$
$Y=sin(2a)+2cos(2a)*(x-a)=$$2cos(2a)*x+(sin(2a)-2a*cos(2a))$
Коэффициент перед х в уравнении касательной равен 2cos(2a), он должен быть равен 1:
$2cos(2a)=1$
$cos(2a)=0.5$
$2a=+-\frac{ \pi }{3}+2 \pi k$, k∈Z
$a=+-\frac{ \pi }{6}+ \pi k$, k∈Z - ответ

Answer 2

1) Для нахождения производной функции f(x) = x^2 + 4x - 3 сначала найдем производные от каждого члена функции по отдельности: f'(x) = 2x + 4, так как производная от x^2 равна 2x, а производная от 4x равна 4. Для функции g(x) = 6 + корней из x сначала нужно определить, какая именно функция является корнем из x. Рассмотрим два варианта:

1. g(x) = 6 + √x, в этом случае производная равна: g'(x) = 1/2√x = (1/2)x^(1/2-1) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).

2. g(x) = 6 - √x, в этом случае производная равна: g'(x) = -1/2√x = -(1/2)x^(1/2-1) = -(1/2)x^(-1/2) = -1/(2√x).

2) Чтобы найти точки, в которых касательная к графику функции y = sin(2x) параллельна прямой y = x - 3, нужно найти значения х, при которых производные от обеих функций равны.

Возьмем производные от функций: (dy/dx)(sin(2x)) = 2cos(2x) (dy/dx)(x - 3) = 1

Так как касательная параллельна прямой, то (dy/dx)(sin(2x)) = (dy/dx)(x - 3), то есть 2cos(2x) = 1.

Решим уравнение: 2cos(2x) = 1 cos(2x) = 1/2 2x = π/3 + 2πn или 2x = -π/3 + 2πn, где n - целое число.

Теперь найдем значения х: x = π/6 + πn или x = -π/6 + πn, где n - целое число. Таким образом, касательная к графику функции y = sin(2x) параллельна прямой y = x - 3 в точках x = π/6 + πn или x = -π/6 + πn, где n - целое число.