Question

Помогите !! пожалуйста!Могут ли числа 1) √2; √3;√5; 2)√5-√2; 1; ,быть членами арифметической прогрессии?Сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию, равна 15.Если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят первые три члена геометрической прогрессии. Найдите данные три числа.Докажите, что для арифметической прогрессии {an} верно равенствопри d=2a1

Answer 1

1.  Если эти числа бы являлись членами арифметической прогрессии то выполнялось бы   равенство 
$\sqrt{3}-\sqrt{2} \neq \sqrt{5}-\sqrt{3}$ следовательно нет 
$1-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1\\ 1-\sqrt{5}+\sqrt{2} \neq \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1$ не является 

2. пусть эти числа x;y;z  
 $x+y+z=15\\ \frac{y+4}{x+1}=\frac{z+19}{y+4}\\ y-x=z-y \\\\ 2y=z+x\\ 3y=15\\ y=5\\ \\ \frac{9}{x+1}=\frac{z+19}{9}\\ x+z=10\\ \\ \frac{9}{11-z}=\frac{z+19}{9}\\ (z+19)(11-z)=81\\ 11z-z^2+19*11-19z=81 \\ -z^2-8z+128=0\\ z=8\\ x=2$
числа     2;5;8

3. Возможно вы имели там ввиду $S_{n}+S_{k}$ так как не имеет смысла
$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\\ S_{n}=\frac{d*n^2}{2}\\ \\ S_{k}=\frac{2a_{1}+(k-1)d}{2}*k\\ S_{k}=\frac{d+kd-d}{2}*k=\frac{dk^2}{2}\\ \\ S_{n}-S_{k}=\frac{dn^2-dk^2}{2}\\ S_{n}+S_{k}=\frac{dn^2+dk^2}{2}\\ \\ \frac{n^2-k^2}{n^2+k^2}$ справедливо только такое соотношение  

Answer 2

Для того чтобы определить, могут ли числа √2, √3, √5 быть членами арифметической прогрессии, нужно проверить выполнение условия для любых трех последовательных членов арифметической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии a1, а разность прогрессии d. Тогда второй член будет a1 + d, а третий член a1 + 2d.

Для чисел √2, √3, √5 должно выполняться условие: √3 = √2 + d √5 = √3 + d

Из первого уравнения получаем: d = √3 - √2

Подставляем значение d во второе уравнение: √5 = √3 + √3 - √2

Упрощаем: √5 = 2√3 - √2

Видим, что это равенство не выполняется, следовательно, числа √2, √3, √5 не могут быть членами арифметической прогрессии.

Теперь найдем первые три члена геометрической прогрессии, полученные из соответствующих исходных чисел. Прибавляем к числам √2, √3, √5 соответственно 1, 4 и 19: √2 + 1 = √3 √3 + 4 = 7 √5 + 19 = √20

Получаем первые три члена геометрической прогрессии: √3, 7, √20.

Далее, чтобы доказать равенство для арифметической прогрессии {an} при d = 2a1, нужно подставить значение d в соответствующее выражение.

Имеем: d = 2a1 √3 - √2 = 2a1

Теперь найдем значения первых трех членов арифметической прогрессии суммируя исходные числа: √2 + √3 + √5 = 15

Теперь подставим значение a1: √2 + √3 + √5 = 2a1 + √2

Упрощаем: √3 + √5 = 2a1

Теперь подставляем значение d: √3 + √5 = d + √2

Таким образом, мы доказали, что для арифметической прогрессии {an} верно равенство при d = 2a1.