Question

Найдите cos2a если tga=корень 2 - 1

Answer 1

Tg²α + 1 = 1/Cos²α
(√2 -1)² = 1/Cos²α
Cos²α= 1/(√2 -1)²
Cos2α = 2Cos²α -1 = 2*1/(√2-1)² -1 = (2 - (√2 -1)²)/(√2 -1)²=(2√2 -1)/(√2 - 1)²

Answer 2

Известно, что tga = корень 2 - 1.

Так как tg a = sin a / cos a, то можно выразить sin a и cos a через tg a:

tg a = (sin a) / (cos a)

Подставим выражение для tg a:

корень 2 - 1 = sin a / cos a

Умножим обе части уравнения на cos a:

корень 2 - 1 * cos a = sin a

По определению cos^2 a + sin^2 a = 1, поэтому sin a = корень (1 - cos^2 a).

Подставим это значение sin a в уравнение:

корень 2 - 1 * cos a = корень (1 - cos^2 a)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(корень 2 - 1 * cos a)^2 = (корень (1 - cos^2 a))^2

2 - 2 корень 2 * cos a + cos^2 a = 1 - cos^2 a

Сгруппируем члены с cos^2 a:

2 - 2 корень 2 * cos a + 2 cos^2 a = 1

Перегруппируем члены:

2 cos^2 a - 2 корень 2 * cos a + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение с неизвестной cos a. Решая его, мы найдем значение cos a. Подставляем это значение обратно в уравнение sin a = корень (1 - cos^2 a), чтобы найти sin a, а затем использовать определение cos^2 a + sin^2 a = 1, чтобы найти cos^2 a.

Затем, используя определение cos^2 a + sin^2 a = 1, можно выразить cos^2 a через sin^2 a и подставить это значение в уравнение для cos2a = cos^2 a - sin^2 a. Таким образом, мы найдем cos2a.