Question

Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции y=2х3-6х

Answer 1

y=2x^3-6x

y'(x)=6x^2-6

y'(x)=0;   6x^2-6=0

            x^2=1

            x1=1

            x2=2 

На числовой прямой отмечаешь эти точки и находишь промежутки возр и убыв:

 (-бесконечности;-1);y'(x)>0 след. функция возрастает

[-1;1]; y'(x)>0 след функция убывает 

(1; +бесконечности ) ; y'(x)>0  след. функция возрастает

  x1=1- точка max

   x2=2- точка min

y(1)=2*1-6=-4

y(-1)=2*(-1)+6=4 

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции y=2x^3-6x, необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Для нашей функции y=2x^3-6x, найдем производную: y' = 6x^2 - 6

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 6x^2 - 6 = 0 Поделим обе части уравнения на 6: x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной на интервалах между точками экстремума и за его пределами.

Интервал (-∞, -1): Выберем произвольное значение x, например, x = -2. Подставим это значение в производную: y' = 6(-2)^2 - 6 = 24 Таким образом, на интервале (-∞, -1) производная положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Интервал (-1, 1): Выберем произвольное значение x, например, x = 0. Подставим это значение в производную: y' = 6(0)^2 - 6 = -6 Таким образом, на интервале (-1, 1) производная отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

Интервал (1, +∞): Выберем произвольное значение x, например, x = 2. Подставим это значение в производную: y' = 6(2)^2 - 6 = 18 Таким образом, на интервале (1, +∞) производная положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутки возрастания функции y=2x^3-6x: (-∞, -1) и (1, +∞), а промежуток убывания: (-1, 1).

Answer 3

Для нахождения точек экстремума функции и промежутков возрастания и убывания необходимо взять производную функции, приравнять ее к нулю и найти значения x.

Для функции y=2x^3-6x возьмем производную:

y' = 6x^2 - 6

Приравняем y' к нулю и решим уравнение:

6x^2 - 6 = 0

Решением этого уравнения будет x = ±1.

Теперь нужно проанализировать значения производной в окрестности найденных значений x. Для этого можно выбрать произвольные значения x между найденными корнями и подставить их в выражение для производной:

Пример: Если x = 0, то y' = 6(0)^2 - 6 = -6

Значения производной получились отрицательными, что означает, что функция убывает в окрестности найденных значений x = ±1.

Точки экстремума могут принимать значения минимума или максимума функции. Чтобы определить, какая точка экстремума является максимумом, а какая - минимумом, можно проанализировать вторую производную функции. Для функции y=2x^3-6x возьмем вторую производную:

y'' = 12x

Подставим значения x, полученные из первой производной (x = ±1), в выражение для второй производной:

y''(x=1) = 12(1) = 12 y''(x=-1) = 12(-1) = -12

Значение второй производной получилось положительным при x=1, что означает, что функция имеет минимум. При x=-1 значение второй производной получилось отрицательным, что означает, что функция имеет максимум.

Итак, в результате анализа получаем следующую информацию:

- Точка экстремума x = 1 соответствует минимуму функции. - Точка экстремума x = -1 соответствует максимуму функции. - Функция y=2x^3-6x возрастает на промежутках (-∞, -1) и (1, +∞). - Функция y=2x^3-6x убывает на промежутке (-1, 1).