Question

Помогите пожалуйста! Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=2cosx-(1/(sin^2)x)

Answer 1

F(x)=2cosx-1/(sin^2(x)
F(x)=2sinx+ctgx+C

Answer 2

Общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/(sin^2(x))

Для нахождения общего вида первообразных для данной функции, мы можем использовать метод интегрирования.

Интегрируя каждый член функции по отдельности, получим:

∫2cos(x) dx - ∫1/(sin^2(x)) dx

Интеграл ∫2cos(x) dx равен 2sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл ∫1/(sin^2(x)) dx может быть выражен с помощью тригонометрической подстановки. Подставим u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx. Также заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Заменяя в интеграле, получим:

∫1/(sin^2(x)) dx = ∫1/(1 - cos^2(x)) dx = ∫1/(1 - u^2) * (-du) = -∫1/(1 - u^2) du

Используя метод частных дробей, мы можем разложить дробь 1/(1 - u^2) на простые дроби:

1/(1 - u^2) = A/(1 - u) + B/(1 + u)

Умножим обе части на (1 - u^2), получим:

1 = A(1 + u) + B(1 - u)

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням u:

1 = (A + B) + (A - B)u

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях u, получим систему уравнений:

A + B = 1 A - B = 0

Решая данную систему, найдем A = 1/2 и B = 1/2.

Таким образом, ∫1/(sin^2(x)) dx = -1/2 * ∫1/(1 - u) du + 1/2 * ∫1/(1 + u) du = -1/2 * ln|1 - u| + 1/2 * ln|1 + u| + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Итак, общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/(sin^2(x)) будет:

∫f(x) dx = 2sin(x) - 1/2 * ln|1 - cos(x)| + 1/2 * ln|1 + cos(x)| + C, где C - произвольная постоянная.

Ответ: Общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/(sin^2(x)) равен 2sin(x) - 1/2 * ln|1 - cos(x)| + 1/2 * ln|1 + cos(x)| + C, где C - произвольная постоянная.