Question

Найти производную и указать точки минимума и максимума. У=Sqrt x^2+2x+17 y=5x-ln(x+5)^5

Answer 1

Y`=1/2(x^2+2x+7)= (1)`*(x^2+2x+7) - 1 (x^2+2x+7)`/2(x^2+2x+7)^2=x^2+2x+7-2x+2/2(x^2+2x+7)=x^2+9/2(x^2+2x+7)
y`=0 =>x^2+9=0 x^2=+-3

-----+------*(-3)-----------------*(3)-----+-----  => -3=max 3=min

Answer 2

Для нахождения производной и точек минимума и максимума функции, данной уравнением:

у = √(x^2 + 2x + 17) + y = 5x - ln((x + 5)^5)

мы сначала возьмем производную этой функции по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума.

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции, мы будем использовать правила дифференцирования. Начнем с первого слагаемого уравнения и возьмем производную:

d(√(x^2 + 2x + 17))/dx

Чтобы взять производную квадратного корня, мы можем использовать цепное правило дифференцирования:

d(√u)/dx = (1/2√u) * du/dx

где u = x^2 + 2x + 17. Теперь найдем производную u по x:

du/dx = d(x^2 + 2x + 17)/dx = 2x + 2

Подставим это обратно в исходное уравнение и продолжим дифференцирование:

d(√(x^2 + 2x + 17))/dx = (1/2√(x^2 + 2x + 17)) * (2x + 2)

Теперь возьмем производную второго слагаемого уравнения:

d(5x - ln((x + 5)^5))/dx

Производная константы 5x равна 5, и мы можем использовать правило дифференцирования для натурального логарифма:

d(ln(u))/dx = (1/u) * du/dx

где u = (x + 5)^5. Найдем производную u по x:

du/dx = d((x + 5)^5)/dx = 5(x + 5)^4

Подставим это обратно в исходное уравнение и продолжим дифференцирование:

d(5x - ln((x + 5)^5))/dx = 5 - (1/(x + 5)^5) * 5(x + 5)^4 = 5 - (5/(x + 5))

Нахождение критических точек:

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

5 - (5/(x + 5)) = 0

Умножим обе части уравнения на (x + 5), чтобы избавиться от знаменателя:

5(x + 5) - 5 = 0

Раскроем скобки и упростим:

5x + 25 - 5 = 0

5x + 20 = 0

5x = -20

x = -4

Определение точек минимума и максимума:

Теперь нам нужно проверить вторую производную в найденной критической точке, чтобы определить, является ли она точкой минимума или максимума. Возьмем вторую производную и подставим x = -4:

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = (1/2√(x^2 + 2x + 17)) * (2) - (1/4(x^2 + 2x + 17)^(3/2)) * (2)^2

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 1/√(x^2 + 2x + 17) - (2/(x^2 + 2x + 17))

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 1/√((-4)^2 + 2(-4) + 17) - (2/((-4)^2 + 2(-4) + 17))

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 1/√(16 - 8 + 17) - (2/(16 - 8 + 17))

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 1/√(25) - (2/25)

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 1/5 - 2/25

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 5/25 - 2/25

d^2(√(x^2 + 2x + 17))/dx^2 = 3/25

Получили положительное значение второй производной, поэтому точка x = -4 является точкой минимума функции.

Резюме:

Итак, мы нашли критическую точку x = -4, которая является точкой минимума функции у = √(x^2 + 2x + 17) + y = 5x - ln((x + 5)^5).