Question

Найдите 4cosa-5sina/4sina+4cosa, если tga=4

Answer 1

Tga=4
cos²a=1:(1+tg²a)=1:(1+16)=1/17
cosa=1/√17
sina=√(1-cos²a)=√(1-1/17)=4/√17
(4cosa-5sina)/(4sina+4cosa)=(4/√17-20/√17):(16/√17+4/√17)=
=-16/√17:20/√17=-16/√17*√17/20=-0,8

Answer 2

У нас дано уравнение \( \tan(\alpha) = 4 \), где \( \alpha \) - это угол. Давайте используем тригонометрическую связь между тангенсом и синусом, косинусом:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 4 \]

Теперь мы можем представить \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \) через друг друга:

\[ \sin(\alpha) = 4\cos(\alpha) \]

Используя тригонометрическую идентичность \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), подставим \( \sin(\alpha) = 4\cos(\alpha) \):

\[ (4\cos(\alpha))^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \] \[ 16\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \] \[ 17\cos^2(\alpha) = 1 \] \[ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{17} \] \[ \cos(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} \]

Так как \( \tan(\alpha) > 0 \) и \( \cos(\alpha) > 0 \) в первом квадранте, мы берем положительное значение:

\[ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \]

Теперь, зная \( \cos(\alpha) \), мы можем найти \( \sin(\alpha) \):

\[ \sin(\alpha) = 4\cos(\alpha) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} \]

Теперь у нас есть значения \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \). Давайте подставим их в выражение \( \frac{4\cos(\alpha) - 5\sin(\alpha)}{4\sin(\alpha) + 4\cos(\alpha)} \):

\[ \frac{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} - 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{17}}}{4 \cdot \frac{4}{\sqrt{17}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}}} \]

Упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{\frac{4 - 20}{\sqrt{17}}}{\frac{16 + 4}{\sqrt{17}}} = \frac{\frac{-16}{\sqrt{17}}}{\frac{20}{\sqrt{17}}} = \frac{-16}{20} = -\frac{4}{5} \]

Таким образом, значение выражения \( \frac{4\cos(\alpha) - 5\sin(\alpha)}{4\sin(\alpha) + 4\cos(\alpha)} \), при условии \( \tan(\alpha) = 4 \), равно \( -\frac{4}{5} \).