Question

При каком значении параметра a значение выражения x1 в квадрате +x2 в квадрате будет наименьшим, если x1, x2 — корни уравнения x в квадрате+ax+a–2=0?

Answer 1

$x^2+ax+a-2=0\\ x^2+x(a+1)-2=0$
по теореме Виета 
$x^2+x(a+1)-2=0\\ x_{1}+x_{2}=-(a+1)\\ x_{1}x_{2}=-2\\ \\ x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(a+1)^2+4\\ \\ f(a)=(a+1)^2+4\\ f(a)=a^2+2a+5$
теперь очевидно что это  квадратное уравнение имеет минимальное значение , где находится вершины данной параболы , а как известно она вычисляется 
$a^2+2a+5=0\\ a=\frac{-2}{2}=-1$
то есть при a=-1,  минимальное  значение будет 4 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения параметра a, при которых значение выражения x1^2 + x2^2 будет минимальным, если x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 + ax + a-2 = 0.

Решение:

1. Найдем корни уравнения x^2 + ax + a-2 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: - Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = a, c = a-2. - Подставим значения в формулу: D = a^2 - 4(a)(a-2) = a^2 - 4a^2 + 8a = -3a^2 + 8a. - Дискриминант D должен быть больше или равен нулю, чтобы уравнение имело действительные корни. - Таким образом, -3a^2 + 8a >= 0. - Решим неравенство: -3a^2 + 8a >= 0. - Факторизуем: a(-3a + 8) >= 0. - Найдем значения a, при которых неравенство выполняется: - a >= 0 (1) - -3a + 8 >= 0 - -3a >= -8 - a <= 8/3 (2) - Из (1) и (2) получаем, что a принадлежит интервалу [0, 8/3].

2. Теперь найдем значение выражения x1^2 + x2^2 при a = 0 и a = 8/3. - Подставим a = 0 в уравнение x^2 + ax + a-2 = 0: - x^2 + 0x + 0-2 = 0 - x^2 - 2 = 0 - x^2 = 2 - x = ±√2 - Таким образом, при a = 0, x1 = √2 и x2 = -√2. - Вычислим значение выражения x1^2 + x2^2: - x1^2 + x2^2 = (√2)^2 + (-√2)^2 = 2 + 2 = 4.

- Подставим a = 8/3 в уравнение x^2 + ax + a-2 = 0: - x^2 + (8/3)x + (8/3)-2 = 0 - x^2 + (8/3)x + 2/3 = 0 - Умножим уравнение на 3 для избавления от дробей: - 3x^2 + 8x + 2 = 0 - Решим уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта: - Дискриминант D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(3)(2) = 64 - 24 = 40. - Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня. - Решим уравнение: x = (-b ± √D) / (2a) - x = (-8 ± √40) / (2*3) - x = (-8 ± 2√10) / 6 - x = (-4 ± √10) / 3 - Таким образом, при a = 8/3, x1 = (-4 + √10) / 3 и x2 = (-4 - √10) / 3. - Вычислим значение выражения x1^2 + x2^2: - x1^2 + x2^2 = [(-4 + √10) / 3]^2 + [(-4 - √10) / 3]^2.

3. Сравним значения выражения x1^2 + x2^2 при a = 0 и a = 8/3: - При a = 0, значение выражения x1^2 + x2^2 равно 4. - При a = 8/3, значение выражения x1^2 + x2^2 будет другим числом, которое можно вычислить.

Ответ: - При значении параметра a = 0, значение выражения x1^2 + x2^2 будет наименьшим и равным 4. - При других значениях параметра a, значение выражения x1^2 + x2^2 будет отличным от 4, и его точное значение можно вычислить, подставив a в уравнение x^2 + ax + a-2 = 0 и найдя корни этого уравнения.