Question

Sin 5x + sin 10x + sin 15x = cos 5x + cos 10x + cos 15x

Answer 1

Решение на фотооооооооооооооооооооо

Answer 2

Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся формулой сложения для синуса и косинуса:

\[ \sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \] \[ \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \]

Применяя эти формулы, мы можем преобразовать суммы синусов и косинусов в уравнении:

\[ \sin 5x + \sin 10x + \sin 15x = \cos 5x + \cos 10x + \cos 15x \]

Преобразуем левую часть:

\[ \sin 5x + \sin 10x + \sin 15x \]

Сначала воспользуемся формулой суммы для синуса:

\[ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Применяем это к первым двум слагаемым:

\[ \sin 5x + \sin 10x = 2 \cdot \sin\left(\frac{5x + 10x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5x - 10x}{2}\right) \] \[ = 2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \cos\left(-\frac{5x}{2}\right) \]

Теперь применяем формулу суммы для синуса к результату и третьему слагаемому:

\[ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) + \sin 15x = 2 \cdot \sin\left(\frac{\frac{15x}{2} + 15x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\frac{15x}{2} - 15x}{2}\right) \] \[ = 2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \cos\left(-\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь левая часть уравнения выглядит следующим образом:

\[ 2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \cos\left(-\frac{5x}{2}\right) + 2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \cos\left(-\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\[ \cos 5x + \cos 10x + \cos 15x \]

Применяем формулу суммы для косинуса:

\[ \cos a + \cos b = -2 \cdot \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Применяем эту формулу к первым двум слагаемым:

\[ \cos 5x + \cos 10x = -2 \cdot \sin\left(\frac{5x + 10x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{5x - 10x}{2}\right) \] \[ = -2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{5x}{2}\right) \]

Теперь применяем формулу суммы для косинуса к результату и третьему слагаемому:

\[ \cos\left(\frac{15x}{2}\right) + \cos 15x = -2 \cdot \sin\left(\frac{\frac{15x}{2} + 15x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\frac{15x}{2} - 15x}{2}\right) \] \[ = -2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь правая часть уравнения выглядит следующим образом:

\[ -2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{5x}{2}\right) - 2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \cos\left(-\frac{5x}{2}\right) + 2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \cos\left(-\frac{15x}{4}\right) = -2 \cdot \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{5x}{2}\right) - 2 \cdot \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь можно сократить обе стороны на \(2\):

\[ \sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \cos\left(-\frac{5x}{2}\right) + \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \cos\left(-\frac{15x}{4}\right) = -\sin\left(\frac{15x}{2}\right) \cdot \sin\left(-\frac{5x}{2}\right) - \sin\left(\frac{45x}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{15x}{4}\right) \]

Теперь можем сократить обе стороны на \(\sin\left(\frac{15x}{2}\right)\):

\[ \cos\left(-\frac{5x}{2}\right) + \frac{\sin\left(\frac{45x}{4}\right)}{\sin\left(\frac{15x}{2}\right)} \cdot \cos\left(-\frac{15x}{4}\right) = -\sin\left(-\frac{5x}{2}\right) - \frac{\sin\