Question

Из точки А окружности проведены две хорды, пересекающие окружность в точках B и C (см. рис.). Чему равна длина хорды СВ, если , угол BAC=45 градусам, а радиус окружностиr= 4√2 ?

Answer 1

Соединим точки В и С с центром окружности О.
< ВОС - центральный угол окружности
<ВАС = 45° - вписанный угол
Дуга, на которую опирается вписанный угол, ВС=90°
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
<BOC=90°
Δ ВОС - прямоугольный, равнобедренный.
Хорда ВС - гипотенуза.
По теореме Пифагора ВС²=ОВ²+ОС²
                                       ВС²=(4√2)² *2
                                       ВС²=16*2*2=64
                                       ВС=√64=8

Answer 2

Чтобы найти длину хорды \( \overline{BC} \) окружности, когда известен угол \( \angle BAC \) и радиус \( r \), можно воспользоваться следующей формулой:

\[ \overline{BC} = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) \]

Здесь \( \sin \) - это синус угла, а \( \angle BAC \) - угол в радианах.

Переведем угол \( \angle BAC \) из градусов в радианы, так как большинство тригонометрических функций в математике принимают аргументы в радианах. Формула для перевода: \( \text{радианы} = \frac{\pi \cdot \text{градусы}}{180} \).

\[ \text{Угол в радианах} = \frac{45 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{4} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[ \overline{BC} = 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

\[ \overline{BC} = 8\sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \]

Для вычисления значения синуса угла \( \frac{\pi}{8} \) нужно воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций или калькулятором. В данном случае:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.3827 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ \overline{BC} \approx 8\sqrt{2} \cdot 0.3827 \]

\[ \overline{BC} \approx 6.064 \]

Таким образом, длина хорды \( \overline{BC} \) равна примерно 6.064.