Question

Найдите критические точки функцииy = 0,5 cos 2x + cos x

Answer 1

Для начала, найдем производную функции:
$y'=0,5(cos2x)'+(cosx)'=-sinx-sin2x$
Приравняем производную к нулю и решим ее:
$-sinx-sin2x=0$
$-sinx-2cosxsinx=0$
$-sinx*(1+cosx)=0$
$sinx(1+cosx)=0$
$sinx=0$                       $1+2cosx=0$
$x_1= \pi n$; n∈Z            $2cosx=-1$
                                                 $cosx=- \frac{1}{2}$
                                                $x_2=arccos(- \frac{1}{2})+2 \pi n$; n∈Z
                                                $x_2= \frac{2 \pi }{3}+2 \pi n$; n∈Z
 $x_3=- \frac{2 \pi }{3}+2 \pi n$; n∈Z

Ответ: Критические точки: $\pi n; \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n;- \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n$  n∈Z

Answer 2

Для нахождения критических точек функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для начала найдем производную функции y = 0,5cos(2x) + cos(x). Для этого применим правило дифференцирования для суммы функций:

y' = -0,5sin(2x)*2 + -sin(x) = -sin(2x) - sin(x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-sin(2x) - sin(x) = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу для синуса разности и суммы:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Применим эту формулу к уравнению:

-2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0

Теперь факторизуем уравнение:

sin(x)(-2cos(x) - 1) = 0

Или:

sin(x) = 0 -2cos(x) - 1 = 0

Решим первое уравнение:

sin(x) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = π.

Теперь решим второе уравнение:

-2cos(x) - 1 = 0

Приравняем cos(x) = -1/2:

x = π/3 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, критические точки функции y = 0,5cos(2x) + cos(x) равны x = 0, x = π и x = π/3 + 2πn, где n - целое число.