Question

Докажите,что значение выражения (16^3-8^3)(4^3+2^3) делится на 63

Answer 1

Выражение: (16^3-8^3)*(4^3+2^3)
1. (4096-8^3)*(4^3+2^3)
2. (4096-512)*(4^3+2^3)
3. 3584*(4^3+2^3)
4. 3584*(64+2^3)
5. 3584*(64+8)
6. 3584*72
7. 258048:63=4096;

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением и докажем, что оно делится на 63.

Имеем выражение: \((16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)\)

Для начала упростим каждую скобку по отдельности.

1. \(16^3 - 8^3\)

Разность кубов \(a^3 - b^3\) раскладывается по формуле:

\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]

В данном случае:

\[16^3 - 8^3 = (16 - 8)(16^2 + 16 \cdot 8 + 8^2)\]

Упростим:

\[(16 - 8) = 8\]

\[(16^2 + 16 \cdot 8 + 8^2) = 256 + 128 + 64 = 448\]

Таким образом, \(16^3 - 8^3 = 8 \cdot 448\).

2. \(4^3 + 2^3\)

Это сумма кубов \(a^3 + b^3\), которая раскладывается по формуле:

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

В данном случае:

\[4^3 + 2^3 = (4 + 2)(4^2 - 4 \cdot 2 + 2^2)\]

Упростим:

\[(4 + 2) = 6\]

\[(4^2 - 4 \cdot 2 + 2^2) = 16 - 8 + 4 = 12\]

Таким образом, \(4^3 + 2^3 = 6 \cdot 12\).

Теперь умножим полученные результаты:

\((8 \cdot 448)(6 \cdot 12)\)

Упростим:

\[8 \cdot 448 = 8 \cdot 8 \cdot 56 = 64 \cdot 56\]

\[6 \cdot 12 = 72\]

Теперь у нас есть выражение: \(64 \cdot 56 \cdot 72\)

Посмотрим, делится ли это число на 63. 63 можно разложить на простые множители как \(3 \cdot 3 \cdot 7\).

Теперь проверим, делится ли \(64 \cdot 56 \cdot 72\) на \(3 \cdot 3 \cdot 7\).

1. \(64 = 2^6\), значит, содержит в себе \(3 \cdot 3\) - это подходит. 2. \(56 = 2^3 \cdot 7\), также подходит. 3. \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), также подходит.

Таким образом, каждый из множителей в выражении делится на \(3 \cdot 3 \cdot 7\), следовательно, их произведение тоже делится на \(3 \cdot 3 \cdot 7\), и, следовательно, на 63.

Таким образом, значение выражения \((16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)\) делится на 63.