Question

используя формулу производной произведения или частного . x^2 найти f(x)=_____________ . 1+x

Answer 1

x^2/(1+x)

(2x(1+x)-x^2)/(1+x)^2=(2x+2x^2-x^2)/(x+1)^2=(2x+x^2)/(x+1)^2

2x*1/(x+1)-x^2/(1+x)^2=(2x(1+x)-x^2)/(1+x)^2=(2x+x^2)/(x+1)^2

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (1+x) / x^2, мы можем использовать формулу производной произведения и частного. Давайте разберемся пошагово.

Нахождение производной частного

Для начала, нам нужно найти производную частного (1+x) / x^2. Формула производной частного гласит:

d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2

Применяя эту формулу к нашей функции, где u = 1+x и v = x^2, мы получаем:

f'(x) = (x^2 * d(1+x)/dx - (1+x) * d(x^2)/dx) / (x^2)^2

Вычисление производных

Теперь нам нужно вычислить производные выражений (1+x) и x^2. Давайте начнем с них.

- Производная выражения (1+x): Выражение (1+x) является суммой константы 1 и функции x. Производная константы равна нулю, а производная функции x равна 1. Таким образом, мы получаем:

d(1+x)/dx = 0 + 1 = 1

- Производная выражения x^2: Выражение x^2 является квадратом функции x. Для нахождения производной квадрата мы можем использовать формулу степенной функции. Формула производной степенной функции гласит:

d(x^n)/dx = n * x^(n-1)

Применяя эту формулу к нашему случаю, где n = 2 и x = x, мы получаем:

d(x^2)/dx = 2 * x^(2-1) = 2 * x

Подстановка производных

Теперь, когда у нас есть значения производных выражений (1+x) и x^2, мы можем подставить их в формулу производной частного:

f'(x) = (x^2 * d(1+x)/dx - (1+x) * d(x^2)/dx) / (x^2)^2

Заменяем значения:

f'(x) = (x^2 * 1 - (1+x) * 2 * x) / (x^2)^2

Упрощение выражения

Давайте упростим полученное выражение:

f'(x) = (x^2 - 2x(1+x)) / (x^2)^2

f'(x) = (x^2 - 2x - 2x^2) / (x^2)^2

f'(x) = (-x^2 - 2x) / (x^2)^2

Таким образом, производная функции f(x) = (1+x) / x^2 равна:

f'(x) = (-x^2 - 2x) / (x^2)^2

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.