Question

Решите в целых числах уравнение: x^2-3xy+2y^2=3

Answer 1

X^2-3xy+2y^2=3
x^2-2xy+y^2+y^2-xy=3
(y-x)^2+y(y-x)=3
(y-x)(y-x+y)=3
(y-x)(2y-x)=3
1. y-x=1
2y-x=3
2y-x-y+x=2
y=2
x=1
2. y-x=3
2y-x=1
2y-x-y+x=1-3
y=-2
x=-5
3. y-x=-1
2y-x=-3
2y-x-y+x=-3+1
y=-2
x=-3
4. y-x=-3
2y-x=-1
2y-x-y+x=-1+3
y=2
x=5

Answer 2

Давайте решим уравнение по порядку. Уравнение, которое вам дано, выглядит следующим образом:

x^2 - 3xy + 2y^2 = 3

Чтобы решить это уравнение, мы можем применить метод завершения квадратного трехчлена. Давайте выполним несколько шагов:

1. Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы уравнение было равно нулю:

x^2 - 3xy + 2y^2 - 3 = 0

2. Теперь посмотрим на первые два члена, x^2 - 3xy. Мы хотим привести их к виду квадрата двучлена. Для этого нам нужно найти такое число, которое, возведенное в квадрат и умноженное на коэффициент перед xy (в данном случае это -3), даст нам половину коэффициента перед xy в исходном уравнении (т.е. -3/2)^2 = 9/4:

(x - 3/2y)^2 - 9/4y^2 + 2y^2 - 3 = 0

3. Теперь объединим все члены, содержащие y^2:

(x - 3/2y)^2 - 1/4y^2 - 3 = 0

4. Общий знаменатель для членов со знаками перед y^2 - 1/4y^2 - 3 - составляет 4:

4(x - 3/2y)^2 - y^2 - 12 = 0

5. Мы видим, что у нас есть разность двух квадратов, (x - 3/2y)^2 - y^2. Мы можем использовать формулу разности квадратов, чтобы переписать это выражение:

(2(x - 3/2y) + y)(2(x - 3/2y) - y) - 12 = 0

6. Раскроем скобки:

(2x - 3y + y)(2x - 3y - y) - 12 = 0

(2x - 2y)(2x - 4y) - 12 = 0

7. Раскроем скобки и упростим выражение:

4x^2 - 12xy + 8y^2 - 12 = 0

4(x^2 - 3xy + 2y^2) - 12 = 0

4(3) - 12 = 0

12 - 12 = 0

0 = 0

8. Мы видим, что уравнение 0 = 0 верно для любых значений x и y. Это означает, что исходное уравнение x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 верно для всех целых чисел x и y.

Таким образом, решением данного уравнения являются все целочисленные значения x и y.