Question

Ln(x+sqrt(x^2+1) найти производную

Answer 1

$y`(x)=(ln(x+ \sqrt{x^2+1}))`= \frac{(x+ \sqrt{x^2+1})` }{x+ \sqrt{x^2+1} }= \frac{1+ \frac{(x^2+1)`}{2 \sqrt{x^2+1} } }{x+ \sqrt{x^2+1} } = \frac{1+ \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+1} } }{x+ \sqrt{x^2+1} }=\\\\= \frac{ \frac{ \sqrt{x^2+1}+x }{ \sqrt{x^2+1} } }{x+ \sqrt{x^2+1} }= \frac{x+ \sqrt{x^2+1} }{(x+ \sqrt{x^2+1}) \sqrt{x^2+1} } = \frac{1}{ \sqrt{x^2+1} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции ln(x + sqrt(x^2 + 1)) нужно применить правило дифференцирования сложной функции. Давайте разберемся подробнее.

Нахождение производной:

Для начала, обозначим данную функцию как y = ln(x + sqrt(x^2 + 1)). Затем применим правило дифференцирования сложной функции, которое гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

1. Внутренняя функция: - Внутренняя функция в данном случае это x + sqrt(x^2 + 1). - Найдем производную внутренней функции: - Производная суммы равна сумме производных: (d/dx)(x + sqrt(x^2 + 1)) = 1 + (d/dx)(sqrt(x^2 + 1)). - Производная квадратного корня sqrt(x^2 + 1) можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции. - Обозначим sqrt(x^2 + 1) как u. - Производная внутренней функции u равна: (d/dx)(sqrt(x^2 + 1)) = (d/du)(sqrt(u)) * (d/dx)(x^2 + 1). - Производная sqrt(u) равна 1/(2*sqrt(u)). - Производная (d/dx)(x^2 + 1) равна 2x. - Таким образом, (d/dx)(sqrt(x^2 + 1)) = (1/(2*sqrt(u))) * 2x = x/sqrt(x^2 + 1). - Подставляем найденное значение производной внутренней функции: (d/dx)(x + sqrt(x^2 + 1)) = 1 + x/sqrt(x^2 + 1).

2. Внешняя функция: - Внешняя функция в данном случае это ln(u), где u = x + sqrt(x^2 + 1). - Производная ln(u) равна 1/u.

3. Производная функции: - Применяем правило дифференцирования сложной функции: (d/dx)(ln(x + sqrt(x^2 + 1))) = (1/u) * (d/dx)(x + sqrt(x^2 + 1)). - Подставляем значения производных внутренней и внешней функций: (d/dx)(ln(x + sqrt(x^2 + 1))) = (1/(x + sqrt(x^2 + 1))) * (1 + x/sqrt(x^2 + 1)).

Таким образом, производная функции ln(x + sqrt(x^2 + 1)) равна (1/(x + sqrt(x^2 + 1))) * (1 + x/sqrt(x^2 + 1)).