Question

Помогите, пожалуйста с решением заданий:1) найдите наибольшее значение функции y = (2/3x^3)-(x^2) на отрезке [-1;3]2) найдите наименьшее значение функции y = 6x/x^2+1 на отрезке [-2;3]3) найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = (2/x) - (4/корень из x) +74) Известно, что сумма a+2b=12. Найдите наибольшее значение произведения чисел a и b.

Answer 1

1) y'=2x^2-2x x1=0 x2=1
   y''=4x-2 y''(0)=-2 max x2=1- min
   y(0)=0
y(1)=2/3-1=-1/3  y(3)=18-9=9
максимум на отрезке y(3)=9
2) y(-2)=-12/5=-2,4 y(3)=18/10=1,8
6(x^2+1-x(2x))/(x^2+1)^2  1-x^2=0 x=-1 x=1
y'=(1-x^2)/(x^2+1)^2
-1-min
y(-1)=-6/2=-3
минимум на отрезке (-1)=-3
3) y'=-2/x^2+2x^(-3/2) x=1
y(1)=2-4+7=5
maх 7
разность равна 7-5=2
4) a*b=b*(12-2b)=12b-2b^2  
12-4b=0 b=3
             a=12-6=6
ab=6*3=18

Answer 2

Задание 1: Нахождение наибольшего значения функции на отрезке

Для того чтобы найти наибольшее значение функции y = (2/3)x^3 - x^2 на отрезке [-1; 3], мы должны исследовать значение функции в крайних точках отрезка и в точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции на крайних точках отрезка: - Подставим x = -1 в функцию: y = (2/3)(-1)^3 - (-1)^2 = -2/3 - 1 = -5/3. - Подставим x = 3 в функцию: y = (2/3)(3)^3 - (3)^2 = 18 - 9 = 9.

2. Найдем значения функции в точках, где производная функции равна нулю: - Найдем производную функции: y' = 2x^2 - 2x. - Решим уравнение y' = 0: 2x^2 - 2x = 0. - Факторизуем уравнение: 2x(x - 1) = 0. - Получаем два значения x: x = 0 и x = 1. - Подставим x = 0 в функцию: y = (2/3)(0)^3 - (0)^2 = 0. - Подставим x = 1 в функцию: y = (2/3)(1)^3 - (1)^2 = 2/3 - 1 = -1/3.

3. Сравним полученные значения функции и выберем наибольшее: - Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3] равно 9, и достигается при x = 3.

Задание 2: Нахождение наименьшего значения функции на отрезке

Для того чтобы найти наименьшее значение функции y = 6x/(x^2 + 1) на отрезке [-2; 3], мы должны исследовать значение функции в крайних точках отрезка и в точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции на крайних точках отрезка: - Подставим x = -2 в функцию: y = 6(-2)/((-2)^2 + 1) = -12/5. - Подставим x = 3 в функцию: y = 6(3)/(3^2 + 1) = 18/10 = 9/5.

2. Найдем значения функции в точках, где производная функции равна нулю: - Найдем производную функции: y' = (6(x^2 + 1) - 6x(2x))/(x^2 + 1)^2 = (6 - 12x^2)/(x^2 + 1)^2. - Решим уравнение y' = 0: 6 - 12x^2 = 0. - Разделим обе части уравнения на 6: 1 - 2x^2 = 0. - Получаем значение x: x = ±1. - Подставим x = -1 в функцию: y = 6(-1)/((-1)^2 + 1) = -3/2. - Подставим x = 1 в функцию: y = 6(1)/((1)^2 + 1) = 3/2.

3. Сравним полученные значения функции и выберем наименьшее: - Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 3] равно -3/2, и достигается при x = -1.

Задание 3: Нахождение разности между наибольшим и наименьшим значениями функции

Для того чтобы найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = (2/x) - (4/√x) + 7 на всей области определения, мы должны исследовать значение функции на границах области определения и в точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции на границах области определения: - Подставим x = 0 в функцию: y = (2/0) - (4/√0) + 7. Здесь функция не определена, так как деление на ноль не определено. - Подставим x = ∞ в функцию: y = (2/∞) - (4/√∞) + 7. Здесь также функция не определена, так как ∞ не является числом.

2. Найдем значения функции в точках, где производная функции равна нулю: - Найдем производную функции: y' = -2/x^2 + 2/(√x)^3. - Решим уравнение y' = 0: -2/x^2 + 2/(√x)^3 = 0. - Упростим уравнение: (√x)^3 - x^2 = 0. - Возведем обе части уравнения в квадрат: x^3 - x^4 = 0. - Факторизуем уравнение: x^3(1 - x) = 0. - Получаем два значения x: x = 0 и x = 1. - Подставим x = 0 в функцию: y = (2/0) - (4/√0) + 7. Здесь функция не определена, так как деление на ноль не определено. - Подставим x = 1 в функцию: y = (2/1) - (4/√1) + 7 = 2 - 4 + 7 = 5.

3. Сравним полученные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее: - Наибольшее значение функции на всей области определения не определено. - Наименьшее значение функции на всей области определения равно 5, и достигается при x = 1.

Задание 4: Нахождение наибольшего значения произведения чисел

Известно, что сумма a + 2b = 12. Найдем наибольшее значение произведения чисел a и b.

1. Запишем уравнение для суммы: a + 2b = 12. 2. Перепишем уравнение, выразив a: a = 12 - 2b. 3. Запишем функцию произведения чисел: P = a * b = (12 - 2b) * b = 12b - 2b^2. 4. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю: - Найдем производную функции: P' = 12 - 4b. - Решим уравнение P' = 0: 12 - 4b = 0. - Разделим обе части уравнения на 4: 3 - b = 0. - Получаем значение b: b = 3. 5. Подставим найденное значение b = 3 в функцию произведения чисел: P = 12(3) - 2(3)^2 = 36 - 18 = 18. 6. Проверим значения функции на границах области определения: - Подставим b = 0 в функцию произведения чисел: P = 12(0) - 2(0)^2 = 0. - Подставим b = ∞ в функцию произведения чисел: P = ∞.

7. С