Question

Докажите, что функции являются нечетными А) f(x)=x^3 sin x^2 B) f(x)=x^2(2x-x^3)

Answer 1

А) f(-x)=
$( - x)^{3} \sin( - x)^{2}$
Следовательно, -х в кубе останется -х, значит, функция нечётная, так как, если бы была четной, то минус исчез бы

Аналогично с В

Answer 2

Для доказательства, что функции являются нечетными, мы должны проверить, удовлетворяют ли они следующим свойствам:

1. Симметрия относительно начала координат: Если точка (x, y) принадлежит графику функции, то точка (-x, -y) также должна принадлежать графику функции.

2. f(-x) = -f(x): Значение функции при аргументе -x должно быть равно отрицательному значению функции при аргументе x.

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

А) f(x) = x^3 + sin(x^2)

1. Симметрия относительно начала координат: Для проверки этого, нам нужно убедиться, что если точка (x, y) принадлежит графику функции, то точка (-x, -y) также принадлежит графику функции.

Подставим (-x) в функцию и посмотрим, совпадает ли значение с -f(x):

f(-x) = (-x)^3 + sin((-x)^2) = -x^3 + sin(x^2)

-f(x) = -(x^3 + sin(x^2)) = -x^3 - sin(x^2)

Мы видим, что f(-x) = -f(x), что означает, что функция является нечетной.

2. f(-x) = -f(x): Заменим (-x) в функции и проверим, равны ли значения.

f(-x) = (-x)^3 + sin((-x)^2) = -x^3 + sin(x^2)

-f(x) = -(x^3 + sin(x^2)) = -x^3 - sin(x^2)

Мы видим, что f(-x) = -f(x), что подтверждает, что функция является нечетной.

Таким образом, функция f(x) = x^3 + sin(x^2) является нечетной.

B) f(x) = x^2(2x - x^3)

1. Симметрия относительно начала координат: Проверим, совпадает ли значение функции при (x, y) с значением функции при (-x, -y).

f(-x) = (-x)^2(2(-x) - (-x)^3) = x^2(-2x + x^3) = -x^2(2x - x^3)

-f(x) = -(x^2(2x - x^3)) = -x^2(2x - x^3)

Мы видим, что f(-x) = -f(x), что означает, что функция является нечетной.

2. f(-x) = -f(x): Заменим (-x) в функции и проверим, равны ли значения.

f(-x) = (-x)^2(2(-x) - (-x)^3) = x^2(-2x + x^3) = -x^2(2x - x^3)

-f(x) = -(x^2(2x - x^3)) = -x^2(2x - x^3)

Мы видим, что f(-x) = -f(x), подтверждая, что функция является нечетной.

Таким образом, функция f(x) = x^2(2x - x^3) также является нечетной.

Вывод: Обе функции, f(x) = x^3 + sin(x^2) и f(x) = x^2(2x - x^3), являются нечетными.