Question

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а периметр треугольника равен 40 см. Найти катеты прямоугольного треугольника. 2. Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполняет бассейн первая труба?

Answer 1

1.Правило "Пифагоровой тройки"

Если гипотенуза 17 , катеты 15 и 8

как если гипотенуза 10, катеты 6 и 8. 

2.за 12 часов  

Answer 2

Конечно, решим задачу о прямоугольном треугольнике и задачу о наполнении бассейна поэтапно, используя математическое моделирование.

1. Нахождение катетов прямоугольного треугольника:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c = 17\) см.

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

\[ \text{Периметр} = a + b + c = 40 \text{ см} \]

Также известно, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Теперь система уравнений для нахождения катетов выглядит следующим образом:

\[ \begin{cases} a + b + 17 = 40 \\ a^2 + b^2 = 17^2 \end{cases} \]

Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала из первого уравнения найдем выражение для одного из катетов:

\[ a = 40 - b - 17 \] \[ a = 23 - b \]

Теперь подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:

\[ (23 - b)^2 + b^2 = 17^2 \] \[ 529 - 46b + b^2 + b^2 = 289 \] \[ 2b^2 - 46b + 240 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ b^2 - 23b + 120 = 0 \]

Факторизуем или воспользуемся квадратным корнем, чтобы найти значение \(b\):

\[ b = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2 \cdot 1} \] \[ b = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 480}}{2} \] \[ b = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ b = \frac{23 \pm 7}{2} \]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(b\):

1. \(b = \frac{23 + 7}{2} = 15\) 2. \(b = \frac{23 - 7}{2} = 8\)

Теперь найдем соответствующие значения для \(a\):

1. Если \(b = 15\), то \(a = 23 - 15 = 8\). 2. Если \(b = 8\), то \(a = 23 - 8 = 15\).

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см.

2. Нахождение времени заполнения бассейна первой трубой:

Пусть время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно \(t\) часов. Тогда первая труба заполняет бассейн за \(t - 6\) часов.

Если обе трубы работают вместе, они наполняют бассейн за 4 часа:

Пусть скорость наполнения бассейна первой трубой равна \(x\) (в бассейнах в час).

Составим уравнения на основе скоростей каждой трубы:

1. Скорость наполнения первой трубы: \(x\). 2. Скорость наполнения второй трубы: \(x - \frac{x}{6} = \frac{5x}{6}\) (по условию).

Условие, что обе трубы наполняют бассейн за 4 часа:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{5x}{6}} = \frac{1}{4} \]

Упростим это уравнение и найдем значение \(x\):

\[ \frac{1}{x} + \frac{6}{5x} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{5 + 30}{5x} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{35}{5x} = \frac{1}{4} \] \[ x = \frac{35 \cdot 4}{5} = 28 \]

Теперь, когда мы нашли \(x = 28\) (скорость наполнения первой трубы в бассейнах в час), мы можем найти время, за которое первая труба наполнит бассейн:

\(t - 6\) часов, где \(t\) - время, за которое вторая труба наполняет бассейн.

Так как первая труба наполняет бассейн со скоростью \(28\) бассейнов в час, время, за которое она наполнит бассейн, можно выразить как:

\(t - 6 = \frac{1}{28}\)

\(t = \frac{1}{28} + 6 = \frac{1}{28} + \frac{168}{28} = \frac{169}{28} \approx 6.04\) часа

Итак, первая труба заполнит бассейн за приблизительно 6.04 часа.