Question

Sin^4 x-cos^4 x больше и равно 1/корень из 2

Answer 1

(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)≥1/√2
-cos2x√1/√2
cosx≤-1/√2
x∈[2π/3+2πn;4π/3+2πn,n∈z]

Answer 2

Давайте разберем это неравенство шаг за шагом и найдем его решение.

Исходное неравенство: sin^4(x) - cos^4(x) ≥ 1/√2

Перепишем его в более удобной форме, используя тригонометрические тождества: sin^4(x) - cos^4(x) = (sin^2(x) - cos^2(x))(sin^2(x) + cos^2(x))

Теперь мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) всегда равно 1 (это следует из основного тригонометрического тождества), поэтому у нас остается:

(sin^2(x) - cos^2(x))(1) ≥ 1/√2

Теперь рассмотрим первый множитель (sin^2(x) - cos^2(x)). Мы можем воспользоваться разностью квадратов для тригонометрических функций:

sin^2(x) - cos^2(x) = (sin(x) + cos(x))(sin(x) - cos(x))

Теперь у нас есть два множителя:

(sin(x) + cos(x))(sin(x) - cos(x))(1) ≥ 1/√2

Мы видим, что у нас есть произведение трех выражений, и нам нужно, чтобы оно было больше или равно 1/√2. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть больше или равен 1/√2.

Посмотрим на множитель (sin(x) + cos(x)). Мы знаем, что -√2 ≤ sin(x) ≤ √2 и -√2 ≤ cos(x) ≤ √2. Таким образом, sin(x) + cos(x) находится в диапазоне от -2√2 до 2√2. Итак, этот множитель не может быть больше или равен 1/√2.

Теперь рассмотрим множитель (sin(x) - cos(x)). Также заметим, что -√2 ≤ sin(x) ≤ √2 и -√2 ≤ cos(x) ≤ √2. Таким образом, sin(x) - cos(x) находится в диапазоне от -2√2 до 2√2. Итак, этот множитель не может быть больше или равен 1/√2.

Таким образом, мы приходим к выводу, что нет такого значения x, для которого неравенство sin^4(x) - cos^4(x) ≥ 1/√2 будет выполняться. Неравенство не имеет решений.