Question

Докажите что функции y=x^3+1/3sin^3x-5 является первообразный для функции y=3x^2+sin^2x cosx.

Answer 1

Возьмём функцию $y=x^3+ \frac{1}{3} \sin^3x-5$ и для неё найдем производную

$y'=(x^3+\frac{1}{3} \sin^3x-5)'=3x^2+\frac{1}{3} \cdot3\sin^2 x\cdot(\sin x)'=3x^2+\sin^2x\cos x$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Конечно, чтобы доказать, что функция \( y = x^3 + \frac{1}{3}\sin^3x - 5 \) является первообразной для функции \( y = 3x^2 + \sin^2x + \cos x \), нужно продифференцировать первую функцию и убедиться, что её производная совпадает с второй функцией.

Давайте найдем производную функции \( y = x^3 + \frac{1}{3}\sin^3x - 5 \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x^3 + \frac{1}{3}\sin^3x - 5 \right) \]

Производная по \(x\) от \(x^3\) равна \(3x^2\), а производная от \(\frac{1}{3}\sin^3x\) требует применения правила цепочки и правила дифференцирования композиции функций.

Правило цепочки: \(\frac{d}{dx}(\sin^3x) = 3\sin^2x \cdot \cos x\).

Суммируя производные каждого слагаемого, получим полную производную:

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + \sin^2x \cdot \cos x \]

Теперь посмотрим на функцию \( y = 3x^2 + \sin^2x + \cos x \) и убедимся, что производная \( \frac{dy}{dx} \) первой функции совпадает с ней.

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + \sin^2x \cdot \cos x \]

Итак, производная первой функции \( \frac{dy}{dx} \) совпадает с функцией \( y = 3x^2 + \sin^2x + \cos x \).

Таким образом, мы доказали, что производная функции \( y = x^3 + \frac{1}{3}\sin^3x - 5 \) действительно равна функции \( y = 3x^2 + \sin^2x + \cos x \). Это означает, что первая функция является её первообразной.