Question

Определите значение а при котором уравнение имеет ровно 1 корень 64^x+(a-4)*9^x+4-2a=0

Answer 1

64^x+(a-4)*9^x +(4-2a)=0
1)a=4
64^x-4=0
4^3x=4
3x=1
x=1/3
2)a=2
64^x-2*9^x=0
64^x=2*9^x /9^x
(64/9)^x=2
x=log(64/9)2

Answer 2

Уравнение имеет одно решение, если один из одночленов равен 0, или
$\left[\begin{array}{ccc}a-4=0\\4-2a=0\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}a=4\\a=2\end{array}$
Тогда решением уравнения будет
$\left[\begin{array}{ccc}64^{x}-4=0\\64^{x}-2*9^{x}=0\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}4^{3x}=4\\64^{x}=2*9^{x}\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}3x=1\\ (\frac{64}{9}) ^{x}=2\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}x= \frac{1}{3} \\ x=log_ \frac{64}{9} 2\end{array}$

Answer 3

Чтобы определить значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет ровно один корень, давайте рассмотрим уравнение и его свойства.

Уравнение, данное в вами форме:

\[64^x + (a-4) \cdot 9^x + 4 - 2a = 0\]

Давайте введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим \(y = 9^x\), тогда уравнение примет следующий вид:

\[y^2 + (a-4)y + 4 - 2a = 0\]

Это квадратное уравнение относительно переменной \(y\). Условие наличия одного корня для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) - это дискриминант, который равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае:

\[D = (a-4)^2 - 4(4-2a) = a^2 - 8a + 16 - 16 + 8a = a^2 - 8a + 16\]

Теперь, чтобы уравнение имело один корень, \(D\) должен быть равен нулю:

\[a^2 - 8a + 16 = 0\]

Теперь решим это уравнение. Факторизуем его:

\[(a-4)^2 = 0\]

Отсюда получаем:

\[a - 4 = 0 \implies a = 4\]

Таким образом, значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет ровно один корень, равно \(a = 4\).