Question

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40 в степени 50 * 50 в степени 40

Answer 1

Задание № 1:

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^50*50^40?

РЕШЕНИЕ:

$40^{50}*50^{40}=4^{50}*10^{50}*5^{40}*10^{40}= (2^2)^{50}*5^{40}*10^{50}*10^{40}= \\ =2^{100}*5^{40}*10^{90} =2^{60}*2^{40}*5^{40}*10^{90} = \\ =2^{60}*10^{40}*10^{90}=2^{60}*10^{130}$

10^130 нас не интересует. Попробуем повозводить 2 в степень:

2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32

Пятая степень, как и первая, оканчивается на 2. Образуется своего рода цикл.

Чтобы узнать последнюю цифру степени N, нужно N разделить на 4. Остаток от деления соответствует степени, последняя цифра которой совпадает с последней цифрой степени N. Остаток 0 соответствует 4-ой степени.

60/4=15, остаток 0 – 4 степень оканчивается на 6, значит и 60 степень оканчивается на 6

ОТВЕТ: 6

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами степеней и последней ненулевой цифры.

Последняя ненулевая цифра произведения будет зависеть от последней ненулевой цифры каждого из множителей.

Шаг 1: Разложим числа 40 и 50 на простые множители:

40 = 2 * 2 * 2 * 5 50 = 2 * 5 * 5

Шаг 2: Возведем каждый простой множитель в степень:

40 в степени 50 = (2 * 2 * 2 * 5) в степени 50 = 2 в степени 50 * 2 в степени 50 * 2 в степени 50 * 5 в степени 50

50 в степени 40 = (2 * 5 * 5) в степени 40 = 2 в степени 40 * 5 в степени 40 * 5 в степени 40

Шаг 3: Теперь найдем последнюю ненулевую цифру каждого из множителей:

2 в степени 50: - Поскольку последняя ненулевая цифра 2 - это 2, мы оставляем ее без изменений.

5 в степени 50: - Поскольку последняя ненулевая цифра 5 - это 5, мы оставляем ее без изменений.

5 в степени 40: - В данном случае, последняя ненулевая цифра 5 - это 5, мы оставляем ее без изменений.

Теперь у нас осталось только вычислить произведение последних ненулевых цифр:

2 * 5 * 5 = 50

Таким образом, последняя ненулевая цифра произведения 40 в степени 50 * 50 в степени 40 равна 50.