Question

При каком значении а многочлен x^4-ax^3+ax-1 делится на (x-1)^2

Answer 1

1) Р(х)=7х3-22х2+ах-1 Q(x) =х2-3х+1 
7(x^2 - 3x + 1)(x - q) = 7(x^3 - qx^2 - 3x^2 + 3xq + x - q)= 
7(x^3 - (q + 3)x^2 + (3q + 1)x - q)= 
7x^3 - 7(q + 3)x^2 + 7(3q + 1) x - 7q 
q = 1/7 
a = 7(3q + 1) = 7(3/7 + 1) = 10 
2)Р(х) = 3х5-3х4+ах2-ах Q(х)=3х3+2 
(3х3+2)(x^2 + bx + c) = 3x^5 + 3bx^4 + 3cx^3 + 2x^2 + 2bx+2c 
=> c = 0 
b = -1 
=> 
a = 1

Answer 2

Для того чтобы многочлен x^4 - ax^3 + ax - 1 делился на (x-1)^2, необходимо и достаточно, чтобы (x-1)^2 был делителем этого многочлена без остатка.

Разложим (x-1)^2 на множители:

(x-1)^2 = (x-1)(x-1) = x^2 - 2x + 1

Теперь поделим многочлен x^4 - ax^3 + ax - 1 на (x-1)^2 с помощью длинного деления:

x^2 + (2-a)x + (a+1) _____________________________ (x^2 - 2x + 1)|(x^4 - ax^3 + ax - 1) - (x^4 - 2x^3 + x^2) ____________________ (2a - 2)x^3 + (a-1)x - 1 - (2a - 2)x^3 + 2x^2 - x ______________________ (3 - a)x^2 - x - 1 - (3 - a)x^2 + 3x - 3 ___________________ 2x - 2

Получаем остаток 2x - 2.

Таким образом, многочлен x^4 - ax^3 + ax - 1 делится на (x-1)^2 без остатка при значении a=2.