Question

Имеет ли уравнение 19x²-76y²=1976 решение в целых числах

Answer 1

$19x^2-76y^2=1976\\ 19(x^2-4y^2)=1976\\ x^2-4y^2=1976:19\\ x^2-4y^2=104\\ (x-2y)(x+2y)=104$
Вариантов множителей может быть несколько:
1*104=104
2*52=104 
4*26=104
8*13=104
Рассмотрим например первый вариант:
$\left \{ {{x-2y=1} \atop {x+2y=104}} \right. \ \ \ \left \{ {{x=1+2y} \atop {x+2y=104}} \right. \ \ \ \\ \\ 1+2y+2y=104\\ 4y=103\\ y=25.75$
Видно что "у" не целое число, а значит в этом случае не имеет решений в целых числах.

Аналогично рассмотрев все остальные варианты. Увидим что не один из них не даст целых чисел.
Значит данное уравнение вообщем не имеет целых чисел.

P.S.
Я решила таким способом, но может быть быть этот пример решается другим способом. Принимай как знаю)))

Answer 2

Для определения, имеет ли уравнение \(19x^2 - 76y^2 = 1976\) решение в целых числах, можно воспользоваться теоремой о квадратичных вычетах.

Уравнение данной формы является квадратичным диофантовым уравнением второй степени. Однако, для определения существования целочисленных решений, мы можем воспользоваться теоремой о квадратичных вычетах для уравнения вида \(ax^2 - by^2 = c\).

Критерий существования решений в целых числах для уравнения \(ax^2 - by^2 = c\) следующий:

1. Уравнение имеет целочисленное решение \((x, y)\) тогда и только тогда, когда все его приведенные квадратичные вычеты по модулю \(\lvert b \rvert\) равны 1.

Для данного уравнения \(19x^2 - 76y^2 = 1976\), у нас \(a = 19\), \(b = -76\), и \(c = 1976\). Мы видим, что \(\lvert b \rvert = 76\).

Теперь проверим, все ли квадратичные вычеты по модулю 76 равны 1. Если это так, то уравнение имеет целочисленные решения.

Важно отметить, что приведенные квадратичные вычеты зависят от значения \(b\). В данном случае, так как \(b = -76\), мы рассматриваем вычеты по модулю 76.

Рассмотрим все числа от 1 до 76 и найдем их квадраты по модулю 76:

\[ \begin{align*} 1^2 &\equiv 1 \pmod{76} \\ 2^2 &\equiv 4 \pmod{76} \\ 3^2 &\equiv 9 \pmod{76} \\ &\vdots \\ 37^2 &\equiv 1 \pmod{76} \\ 38^2 &\equiv 4 \pmod{76} \\ &\vdots \\ 76^2 &\equiv 36 \pmod{76} \\ \end{align*} \]

Таким образом, все квадратичные вычеты равны 1, и уравнение \(19x^2 - 76y^2 = 1976\) имеет целочисленные решения.