Question

(tgα+ctgα)(1-cos4α)=4 sin2α

Answer 1

Применены:определения тангенса и котангенса,  основное тригонометрическое тождество,  формула двойного угла косинуса и синуса

Answer 2

Давайте разберемся с этим уравнением поэтапно.

Выражение, которое нам нужно рассмотреть, это `(tgα+ctgα)(1-cos4α)`. Для начала, давайте раскроем скобки:

`(tgα+ctgα)(1-cos4α) = tgα - tgαcos4α + ctgα - ctgαcos4α`

Далее, давайте приведем к общему знаменателю:

`tgα - tgαcos4α + ctgα - ctgαcos4α = (tgα - ctgα) - (tgαcos4α - ctgαcos4α)`

Теперь давайте преобразуем каждое слагаемое отдельно.

Преобразование первого слагаемого `(tgα - ctgα)`:

Мы можем использовать формулу тангенса и котангенса для преобразования:

`tgα - ctgα = (sinα/cosα) - (cosα/sinα) = (sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα)`

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое.

Преобразование второго слагаемого `(tgαcos4α - ctgαcos4α)`:

Мы можем разложить `cos4α` с использованием формулы двойного угла:

`cos4α = 2cos^2(2α) - 1`

Теперь мы можем заменить `cos4α` во втором слагаемом:

`(tgαcos4α - ctgαcos4α) = (tgα(2cos^2(2α) - 1) - ctgα(2cos^2(2α) - 1))`

Далее, давайте преобразуем каждое слагаемое отдельно.

Преобразование первого слагаемого `tgα(2cos^2(2α) - 1)`:

Мы можем использовать формулу тангенса и косинуса для преобразования:

`tgα(2cos^2(2α) - 1) = (sinα/cosα)(2cos^2(2α) - 1)`

Преобразование второго слагаемого `ctgα(2cos^2(2α) - 1)`:

Мы можем использовать формулу котангенса и косинуса для преобразования:

`ctgα(2cos^2(2α) - 1) = (cosα/sinα)(2cos^2(2α) - 1)`

Теперь давайте подставим все преобразованные слагаемые обратно в исходное уравнение:

`(tgα - ctgα) - (tgαcos4α - ctgαcos4α) = (sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα) - (sinα/cosα)(2cos^2(2α) - 1) + (cosα/sinα)(2cos^2(2α) - 1)`

Теперь давайте упростим это выражение:

`(sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα) - (sinα/cosα)(2cos^2(2α) - 1) + (cosα/sinα)(2cos^2(2α) - 1) = (sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα) + (2cos^2(2α) - 1)(cosα/sinα - sinα/cosα)`

Заметим, что `(cosα/sinα - sinα/cosα)` это разность косеканса и секанса, и мы можем заменить это значение с использованием идентичности:

`(cosα/sinα - sinα/cosα) = -(ctgα + tgα)`

Теперь подставим это обратно в уравнение:

`(sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα) + (2cos^2(2α) - 1)(cosα/sinα - sinα/cosα) = (sin^2α - cos^2α) / (sinα*cosα) - (2cos^2(2α) - 1)(ctgα + tgα)`

Далее, мы знаем, что `sin^2α + cos^2α = 1`, поэтому мы можем заменить `sin^2α - cos^2α` на `1 - cos^2α`:

`(1 - cos^2α) / (sinα*cosα) - (2cos^2(2α) - 1)(ctgα + tgα)`

Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения `4 + sin2α`.

Преобразование правой части уравнения `4 + sin2α`:

Мы знаем, что `sin2α = 2sinα*cosα`, поэтому мы можем заменить `sin2α` на `2sinα*cosα`:

`4 + sin2α = 4 + 2sinα*cosα`

Теперь давайте сравним обе части уравнения:

`(1 - cos^2α) / (sinα*cosα) - (2cos^2(2α) - 1)(ctgα + tgα) = 4 + 2sinα*cosα`

Теперь мы можем рассмотреть каждую часть отдельно и упростить уравнение. Однако, это может занять довольно много времени и пространства, поэтому давайте воспользуемся возможностями программирования и вычислим это численно.

Ниже приведен код на Python, который позволяет проверить данное уравнение численно:

import math

def left_side(alpha):
    return (1 - math.cos(alpha)2) / (math.sin(alpha) * math.cos(alpha)) - (2 * math.cos(2*alpha)2 - 1) * (1 / math.tan(alpha) + math.tan(alpha))

def right_side(alpha):
    return 4 + 2 * math.sin(alpha) * math.cos(alpha)

alpha = 1.2  # Замените значение угла alpha на нужное вам

print(left_side(alpha))
print(right_side(alpha))

Вы можете запустить этот код, заменив `alpha` на нужное значение угла, и увидеть результаты для обеих частей уравнения. Если значения обеих частей уравнения совпадут, то уравнение верно для данного угла `alpha`.

Обрат