Question

Три различных числа являются последовательными членами возрастающей ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ прогрессии. если второе увеличить в 5/3 раз, то получится арифметическая прогрессия. знаменатель геометрической прогрессии равен

Answer 1

Пусть a, b, c - эти числа. Тогда по свойству геометрической прогрессии:
b² = a·c
По свойству арифметической прогрессии:
5b/3 = (a + c)/2
b = 3(a + c)/10
b² = 9(a² + 2ac + c²)/100
b² = ac

9(a² + 2ac + c²)/100 = ac
9a² - 82ac + 9c² = 0                  разделим на а²
9(c/a)² - 82c/a + 1 = 0
c/a = t
9t² - 82t + 1 = 0
D/4 = 41² - 9·9 = 1681 - 81 = 1600
t = (41+ 40)/9 = 9                t = (41 - 40)/9 = 1/9
c/a = q²
q² = 9  или  q² = 1/9
q = 3 или -3    q = 1/3  или  -1/3
Так как прогрессия возрастающая, подходит одно значение 3

Answer 2

Понял, вы хотите найти знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что три различных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, а если увеличить второе число в 5/3 раза, то получится арифметическая прогрессия.

Обозначим эти три числа как \(a\), \(ar\) и \(ar^2\), где \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель геометрической прогрессии.

Из условия известно, что если увеличить второе число (\(ar\)) в 5/3 раза, то получится арифметическая прогрессия. Значит, \(ar \cdot \frac{5}{3} = a + 2d\), где \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Также известно, что \(ar^2\) является третьим членом геометрической прогрессии, поэтому \(ar^2 = a \cdot r^2\).

Мы получили систему уравнений: \[ \begin{cases} ar \cdot \frac{5}{3} = a + 2d \\ ar^2 = a \cdot r^2 \end{cases} \]

Разрешим эту систему уравнений. Сначала выразим \(d\) из первого уравнения: \[ar \cdot \frac{5}{3} = a + 2d\] \[2d = ar \cdot \frac{5}{3} - a\] \[2d = \frac{5}{3}ar - a\] \[d = \frac{5}{6}ar - \frac{1}{2}a\]

Теперь подставим выражение для \(d\) во второе уравнение: \[ar^2 = a \cdot r^2\] \[a \cdot r^2 = a \cdot r^2\]

Это уравнение верно для любого \(a\) и \(r\), не зависящего друг от друга. Это означает, что значение \(r\) может быть любым числом, кроме 0 (так как это знаменатель геометрической прогрессии).

Таким образом, знаменатель \(r\) геометрической прогрессии может быть любым числом, кроме 0.