Question

Вычислите sin4a ,если ctg2a=-2

Answer 1

sin4a=2sin2acos2a

1/sin^(2)2a=1+ctg^(2)2a

sin2a=+ - sqrt5/5

cos2a=+-2sqrt5/5

sin4a=-4/5

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Имеем, что ctg2a = -2. Заметим, что ctg2a = 1/tan2a. Тогда можно записать уравнение в виде:

1/tan2a = -2.

Перенесем -2 влево:

tan2a = -1/2.

Теперь применим формулу тангенса двойного угла:

tan2a = 2tan a / (1 - tan^2a).

Подставим значение tan2a:

2tan a / (1 - tan^2a) = -1/2.

Умножим обе части уравнения на (1 - tan^2a):

2tan a = (-1/2)(1 - tan^2a).

Раскроем скобки:

2tan a = -1/2 + (1/2)tan^2a.

Получаем квадратное уравнение:

(1/2)tan^2a + 2tan a - 1/2 = 0.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

tan^2a + 4tan a - 1 = 0.

Решая это квадратное уравнение относительно tan a, получим два значения:

tan a = (-4 ± sqrt(4^2 - 4*(-1)))/2.

Вычислим значения:

tan a = (-4 ± sqrt(16 + 4))/2.

tan a = (-4 ± sqrt(20))/2.

Таким образом, получаем два значения для tan a:

tan a = (-4 + sqrt(20))/2 и tan a = (-4 - sqrt(20))/2.

Теперь, чтобы найти sin4a, воспользуемся формулой:

sin2x = 2sin x cos x.

Заметим, что sin4a = sin(2 * 2a), поэтому можем записать:

sin4a = 2sin(2a)cos(2a).

Используем формулы половинного угла:

sin(2a) = 2sin a cos a,

cos(2a) = cos^2a - sin^2a.

Подставим значения sin a и cos a в формулу для sin4a:

sin4a = 2(2sin a cos a)(cos^2a - sin^2a).

Упростим выражение:

sin4a = 4sin a cos a (cos^2a - sin^2a).

Теперь, используя значения sin a и cos a, полученные ранее, мы можем вычислить sin4a.