Question

Докажите, пожалуйста, неравенства: 1) (x>0, y>0) 2)

Answer 1

1
(x+y)(x²-xy+y²)-xy(x+y)≥0
(x+y)(x²-xy+y²-xy)≥0
(x+y)(x²-2xy+y²)≥0
(x+y)(x-y)²≥0
x>0 U y>0⇒x+y>0 U (x-y)²≥0⇒
x³+y³≥x²y+xy²
2
a²+1/a²≥2
(a+1/a)²-2≥2
(a+1/a)-4≥0
(a+1/a-2)(a+1/a+2)≥0
(a²-2a+1)/a *(a²+2a+1)/a≥0
(a-1)²(a+1)²/a²≥0
(a-1)²≥0 при лбом а,(а+1)²≥0 при любом а и а²>0 при любом а⇒
a²+1/a²≥2

Answer 2

Кажется, у вас произошла ошибка в формулировке второго неравенства. Пожалуйста, уточните, какое именно неравенство вы имели в виду во втором пункте. Вероятно, вы имели в виду что-то вроде "x < y" или "y < x".

В любом случае, давайте рассмотрим первое неравенство: \(x > 0\) и \(y > 0\).

Это неравенство означает, что обе переменные \(x\) и \(y\) положительны. Давайте докажем это.

Доказательство:

Имеем \(x > 0\). Умножим обе части неравенства на положительное число \(y\):

\[y \cdot x > 0 \cdot y\]

Это равносильно:

\[xy > 0\]

Теперь рассмотрим второе неравенство \(y > 0\). Умножим обе части неравенства на положительное число \(x\):

\[x \cdot y > 0 \cdot x\]

Это равносильно:

\[xy > 0\]

Таким образом, мы доказали, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(xy > 0\). Это означает, что произведение двух положительных чисел также является положительным числом.

Если у вас есть конкретное второе неравенство, которое вы хотели бы рассмотреть, пожалуйста, предоставьте его, и я буду рад помочь в его доказательстве.