Question

Избавитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Answer 1

Решений в действительных числах нет так как под корнем знаменателя отрицательное число
а такое можно сократить
 $\sqrt{ \sqrt{8}+ \sqrt{7} } / \sqrt{ \sqrt{8}- \sqrt{7} }=$
$\sqrt{ \sqrt{8}+ \sqrt{7} }\sqrt{ \sqrt{8}+ \sqrt{7} } / \sqrt{ \sqrt{8}- \sqrt{7} }\sqrt{ \sqrt{8}+ \sqrt{7} }=$
$\sqrt{8}+ \sqrt{7}$

Answer 2

Пусть $a=\sqrt{7}$, $b=\sqrt{8}$, тогда

$\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}=\frac{a+b}{\sqrt{a^2-b^2}}=\frac{7+8}{\sqrt{49-64}}=\frac{15}{\sqrt{-15}}=\sqrt{-15}$

Answer 3

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, можно использовать метод рационализации. В зависимости от конкретной дроби, существуют различные способы рационализации.

Рационализация знаменателя суммы или разности

Если знаменатель дроби является суммой или разностью двух чисел, содержащих иррациональность, можно применить формулу сопряженного числа. Формула сопряженного числа гласит: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

Пример: Дана дробь 2/(3 - 1). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы можем использовать формулу сопряженного числа: 2/(3 - 1) = 2 * (3 + 1) / ((3 - 1)(3 + 1)) = 2(3 + 1)/(3 - 1) = 2(3 + 1)/2 = 3 + 1.

Таким образом, дробь 2/(3 - 1) равна 3 + 1.

Рационализация знаменателя с помощью дополнительных дробей

Если знаменатель дроби содержит иррациональность в виде квадратного корня или других иррациональных выражений, можно использовать дополнительные дроби для рационализации.

Пример: Дана дробь 50/√49 - 15/√56. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы можем использовать дополнительные дроби: 50/√49 - 15/√56 = 50/7 - 15/(2√14) = (50 * 2√14 - 15 * 7) / (7 * 2√14) = (100√14 - 105) / (14√14).

Таким образом, дробь 50/√49 - 15/√56 равна (100√14 - 105) / (14√14).

Рационализация знаменателя с помощью формулы разности кубов

Если знаменатель дроби содержит иррациональность в виде кубического корня, можно использовать формулу разности кубов для рационализации. Формула разности кубов гласит: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Пример: Дана дробь 1/(2 - ∛3). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы можем использовать формулу разности кубов: 1/(2 - ∛3) = 1 / (2 - ∛3) * ((2^2 + 2∛3 + (∛3)^2) / (2^2 + 2∛3 + (∛3)^2)) = (2^2 + 2∛3 + (∛3)^2) / (2^3 - (∛3)^3) = (4 + 2∛3 + 3) / (8 - 3) = (7 + 2∛3) / 5.

Таким образом, дробь 1/(2 - ∛3) равна (7 + 2∛3) / 5.

Рационализация знаменателя с помощью других методов

В зависимости от конкретной дроби, также могут применяться другие методы рационализации, такие как использование формулы суммы кубов или формулы разности квадратов. Однако, для конкретного примера, предоставленного в вопросе, методы, описанные выше, являются наиболее применимыми.

Надеюсь, эта информация поможет вам избавиться от иррациональности в знаменателе дроби! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.