Question

Помогите пожалуйста решить 1)sin4x+cos22x=2 2)cos43/2x-sin43/2=2-1 3)1+cosx-cosx/2=0 4)1-cosx-sinx/2=0

Answer 1

1)нужна формула для sin^4(a):
$sin^4a = \frac{3 - 4cos2a + cos4a}{8}$
получаем
$\frac{3 -4cos2x + cos4x}{8} + cos^22x = 2 |*8 \\ 3 - 4cos2x + (2cos^22x - 1) + 8cos^22x = 16$
обозначим cos2x за t
$3 - 4t + (2t^2 - 1) + 8t^2 = 16 \\ 10t^2 - 4t - 14 = 0 \\ 5t^2 - 2t - 7 = 0 \\ (t + 1)(5t - 7) = 0 \\ t = -1 \\ t = 7/5$
7/5 посторонний, тк cos a ∈ [-1, 1];
cos 2x = -1; 2x = π + 2πn; x = π/2 + πn, где n ∈ Z

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое уравнение.

1) \( \sin(4x) + \cos(22x) = 2 \)

Для начала, давайте преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[ \sin(4x) + \cos(22x) = 2 \]

\[ \sin(2 \cdot 2x) + \cos(2 \cdot 11x) = 2 \]

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(22x) = 2 \]

Теперь давайте заметим, что \( \cos(2 \cdot 11x) \) можно представить в виде суммы косинусов:

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(20x + 2x) = 2 \]

Теперь давайте воспользуемся формулой сложения косинусов:

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) + (\cos(20x)\cos(2x) - \sin(20x)\sin(2x)) = 2 \]

Теперь объединим все члены, содержащие \(\sin(2x)\) и \(\cos(2x)\):

\[ (2\sin(2x) - \sin(20x))\cos(2x) - \sin(20x)\sin(2x) = 2 \]

Теперь у нас есть произведение синуса и косинуса, и мы можем воспользоваться формулой произведения:

\[ \sin(2x)(2\cos(2x) - \sin(20x)) = 2 + \sin(20x) \]

Теперь давайте рассмотрим два случая:

а) Если \( \sin(2x) = 0 \), то у нас есть уравнение \( -\sin(20x) = 2 \), которое не имеет решений.

б) Если \( \sin(2x) \neq 0 \), то мы можем разделить обе стороны уравнения на \( \sin(2x) \):

\[ 2\cos(2x) - \sin(20x) = \frac{2}{\sin(2x)} + \cot(2x) \]

Теперь мы имеем уравнение только относительно \( x \), и мы можем попробовать его решить.

2) \( \cos\left(\frac{4}{3}x\right) - \sin\left(\frac{4}{3}x\right) = 1 \)

Давайте сложим и вычтем единицу с обеих сторон:

\[ \cos\left(\frac{4}{3}x\right) - \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + 1 = 1 + 1 \]

Теперь давайте преобразим левую сторону:

\[ \cos\left(\frac{4}{3}x\right) - \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + 1 = \cos\left(\frac{4}{3}x\right) - \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \frac{\sin^2\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}{\sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right)} \]

Теперь мы можем упростить это уравнение:

\[ \frac{\cos\left(\frac{4}{3}x\right) - \sin\left(\frac{4}{3}x\right)\sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos^2\left(\frac{4}{3}x\right) + \sin^2\left(\frac{4}{3}x\right) + \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right)}{\sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right)} = 2 \]

Теперь используем тригонометрические тождества:

\[ \frac{2 + \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right)}{\sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right)} = 2 \]

Домножим обе стороны на \( \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right) \):

\[ 2 + \sin\left(\frac{4}{3}x\right) + \cos\left(\frac{4}{3}x\right) = 2\sin\left(\frac{4}{3}x\right) + 2\cos\left(\frac{4}{3}x\right) \]

Теперь давайте преобразим это уравнение:

\[ \sin\left(\frac{4}{3}x\right) - \cos\left(\frac{4}{3}x\right) = 0 \]

\[ \tan\left(\frac{4}{3}x\right) = 1 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ \frac{4}{3}x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \frac{3}{4}\left(\frac{\pi}{4} + n\pi\right), \quad n \in \mathbb{Z} \]

3) \( 1 + \cos(x) - \frac{\cos(x)}{2} = 0 \)

Давайте объединим члены с косинусом:

\[ \frac{2}{2} + \frac{2\cos(x)}{2} - \frac{\cos(x)}{2} = 0 \]

\[ \frac{2 + \cos(x)}{2} - \frac{\cos