Question

Пожалуйста, помогите найти значение выражения ((5-6√x)/√x)-(5√x/x) при x=2+√3

Answer 1

Для любых икс это выражение = -6

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \( \frac{{5 - 6\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}}} - \frac{{5\sqrt{x}}}{x} \) и подставим \( x = 2 + \sqrt{3} \):

\[ \frac{{5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}} - \frac{{5\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{2 + \sqrt{3}}} \]

Сначала упростим числитель в первой дроби. Для этого умножим и разделим на сопряжённое значение:

\[ \frac{{5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}}{{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}} \]

Это даст нам:

\[ \frac{{(5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}})(\sqrt{2 - \sqrt{3}})}}{{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}}} \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \]

Для упрощения этого корня умножим и разделим на сопряжённое значение:

\[ (\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \]

Это даст:

\[ (\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{\sqrt{(2 + \sqrt{3})^2}}} \]

Теперь мы можем упростить:

\[ (\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{2 + \sqrt{3}}} \]

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное выражение:

\[ \frac{{(5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}})(\sqrt{2 - \sqrt{3}})}}{{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}}} - \frac{{5\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{2 + \sqrt{3}}} \]

\[ = \frac{{(5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}})(\sqrt{2 - \sqrt{3}})}}{{(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{{2 + \sqrt{3}}}}} \]

Теперь мы видим, что множители в числителе и знаменателе сокращаются:

\[ = 5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}} \]

Теперь подставим \( x = 2 + \sqrt{3} \):

\[ = 5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}} \]

Таким образом, значение выражения \( \frac{{5 - 6\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}}} - \frac{{5\sqrt{x}}}{x} \) при \( x = 2 + \sqrt{3} \) равно \( 5 - 6\sqrt{2 + \sqrt{3}} \).